基本 例 26 分数の数列の和の応用
00000
次の数列の和Sを求めよ。
1
1
1・2・3' 2・3・4'3・4・5'
D
|指針
解答
[類 一橋大 ]
n(n+1)(n+2)
1
n+√n+2
(n≧2) 基本25
②で作った式にk=1,2,3,..., n を代入
1+√3 √2+√4'√3+√5
① 第k項を差の形で表す。
3辺々を加えると、隣り合う項が消える。
(1)基本例題 25 と方針は同じ。 まず,第k項を部分分数に分解する。 分母の因数が
3つのときは、解答のように2つずつ組み合わせる。
を計算すると
k(k+1)
(k+1)(k+2)
1
よって
=
k(k+1)(k+2) 2lk(k+1)
2
k(k+1)(k+2)
(k+1)(k+2)
(2) 第k項の分母を有理化すると, 差の形で表される。
(1)項は
2))
部分分数に分解する。
+1(+2)=1/21s(k+1) (+1)(k+2)
であるから
6=1/11(1/122/2)+(2/13)+(3/12/15)
1
2・3 3・4
(n+1)(n+2)
+{(n+1)(n+1) (n+2)}]
= {1-2 (n+1) (n+2)}
21-2 (n+1)(n+2)
_1 (n+1)(n+2)-2 n(n+3)
=
22(n+1)(n+2) 4(n+1)(n+2)
(2)第ん項は
√k-√k+2
k+√k+2 (k+√k+2) (√k-vk+2 )
1/12 (√k+2-√k) であるから
S=1/2((-1)+(VL-√/2)+(V-V)
......+(√n+1-n-1)+(n+2)
=1/12 (√n+I+vn+2-1-√2)
途中が消えて、最初と最後
だけが残る。
検討
次の変形はよく利用される。
1
(k+1)(k+2)
1
== {k(k+1) ¯¯ (k+1)(k+2)
分母の有理化。
途中の±√3+√4.
±√√5,
√n-1
√が消える。
