重要 例題 141 n≦k の仮定
数列{an}(ただし an> 0) について、関係式
証明。
は整数
の証明。
(a1+a2+......+αn)=a^²+a2²3+...... +α²
が成り立つとき, an=nであることを証明せよ。
指針自然数nの問題であるから,数学的帰納法で証明する。
n=k+1のときを書き出すと
ならない。
(1+2+..+k+αk+1)=13+2°+..+k+ak+13
A
･成
となるが, 「n=kのとき成り立つ」 と仮定した場合, ak-1=k-1, ak-2=k-2,
り立つことを仮定していないこととなり, A が作れなくなってしまう。 したがって, n≦k
の仮定が必要。
そこで,次の [1], [2] を示す数学的帰納法を利用。
[1] n=1のとき成り立つ。
[2] n≦k のとき成り立つと仮定すると, n=k+1のときも成り立つ。
.........
CHART 数学的帰納法 n≦kで成立を仮定する場合あり
解答
[1] n=1のとき, ar²=a3, a>0から
ゆえに,n=1のとき α = nは成り立つ。
[2] n≦k のとき, an=n が成り立つと仮定する。
a=1
n=k+1のときを考えると
{(1+2+.….....+k)+ak+1}² = 1³ +2³++k³ +ak+₁³
(①の左辺)=(1+2+:
......
+k)+2(1+2+..+k)an+1+αk+12
= { ½ k (k+1) } ³+2+ = =+k(k+1) an+i+anti²
=1+2+..+k+k(k+1)ak+1 +ak+1
(k+1)an+1+ak+12=ak+13
2
①の右辺と比較して
ゆえに
k10 であるから
よって, n=k+1のときにも an = nは成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nに対して an=nは成り立つ。
ak+1 (an+1+k){ak+1-(k+1)}=0
an+1=k+1
n=1のときの証明。
<n≦k の仮定。
<n=k+1のときの証明。
3:
1
数学的帰納法
