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基礎問
第5章 微分法
148
81 微分法の不等式への応用
(1)
<>0のとex> 1/2+x+1 が成りたつことを示せ。
(2) limx=0を示せ .
(3) lim xlog.x=0 を示せ.
+0
精講
(1) 微分法の不等式への応用は数学ⅡIB 96, 数学ⅡI・B 97 で学習
済みです。 考え方自体は何ら変わりはありません。
(2) 78,(3)は演習問題 79 にでています。
大学入試で,これらが必要になるときは,
Ⅰ. 直接与えてある (78)
ⅡI. 間接的に与えてある (演習問題79)
ⅢI.証明ができるように、使う場面以前に材料が与えてある (81)
のいずれかの形態になっているのがフツウですが,たまに,そうでない出題も
あります。
だから, この結果は知っておくにこしたことはありません. もちろん､証明
の手順もそうです. (1) や (2) 不等式の証明 (3) 極限という流れは 44,45で
学んだはさみうちの原理です.
解答
(1) f(x)=e³-
(エ) (12/2+x+1) とおく.
f'(x)=e*-(x+1), ƒ"(x)=e³-1
x>0のとき, ex>1 が成りたち, f"(x) >0
したがって,f'(x) は x>0 において単調増加.
ここで,f'(0)=0 だから,x>0のときf(x)
よって, f(r) は x>0 において単調増加.
ここで, f(0)=0 だから, x>0 のとき、f(x)>0
ゆえに, x>0 のとき, e>
¹> {√x²+x+1
y=er上の点(0, 1) における接線を
参考
求めると, y=x+1 になります。 こ
のとき,右図より y=e²y=x+1
より上側にあります。だから, x>0 では
>x+1, すなわち, f'(x) > 0 であることが
わかります.
(2) x>0 0²¾, (1)* _e²> {/x²+x+1> {/√ x ³²
0<x<²/2
…".
0<><>²+²x+2=0<<x+2+³
..
I
lim (-tlogt)=lim += 0
t→+0
1-0 et
また, lim (-tlogt)=lim (tlogt)
t→+0
演習問題 81
lim -= 0 だから, はさみうちの原理より lim-
2
→∞ I
注解答では,+1を切り捨てていますが, そのままだと次のように
なります.
t +0
ポイント
く
(3) (2)において, x=log / とおくと,t+0 のとき→∞
‡t, e²= elox+= 1, x=-logt だから,
t+0
limtlogt=0 すなわち, lim xlogx = 0)
x→+0
lim -=0
I→∞ P
(1) x>0 のとき
(2) lim loga
→∞
IC
2
log.
X
-= 0 を示せ .
I
-1
x>10gを示せ.
3/4
0
y=e*
149
y=x+1
lim -=0 lim xlog.x=0
I-00
x→+0
第5章
