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基本例題 58 背理法による証明
√5 +√7 は無理数であることを証明せよ。 ただし, √7 は無理数であることは
知られているものとする。
指針 無理数である (=有理数でない)ことを直接示すの
は困難。 そこで, 証明しようとする事柄が成り立た
ないと仮定して, 矛盾を導き, その事柄が成り立つ
ことを証明する方法,すなわち 背理法で証明する。
【CHART 背理法
実数
直接がだめなら間接で 背理法
「でない」 「少なくとも1つ」 の証明に有効
解答
√5 +√7 が無理数でないと仮定する。
このとき, √5+√7 は有理数であるから, r を有理数として
√5 +√7 = とおくと √5=r-√7
両辺を2乗して
ゆえに
5=r²-2√7r+7
2√7r=r²+2
p.96 基本事項
有理数 (無理数でない実数)
無理数(有理数でない実数)
²+2
r=0 であるから
√7=
2r
r² + 2, 2r は有理数であるから, ① の右辺も有理数である(*)。
よって、①から7は有理数となり, √7 が無理数であること
に矛盾する。
したがって, √5 +√7 は無理数である。
1.5 +√7 は実数であり.
無理数でないと仮定してい
るから, 有理数である。
2乗して、 √5 を消す。
(*) 有理数の和・差・積・商
は有理数である。
検討)
√5 が無理数であることを仮
定すれば,√7=-√5の両
辺を2乗して、 同様に証明で
きる｡
検討 背理法による証明と対偶による証明の違い
命題
導くが,結論の「q でない」に対する矛盾でも, 仮定の 「かである」 に対する矛盾でもどちらで
もよい。後者の場合,｢7 万」つまり対偶が真であることを示したことになる。
このように考えると,背理法による証明と対側による証明は似ているように感じられるが,本質
的には異なるものである。 対偶による証明は「7万を示す、つまり,
でない」 (命題が成り立たない)として矛盾を
について,背理法では「かであって」
で)導く結論がp とはっきりしている。これに対し, 背理法の場合,「ででない
して矛盾が生じることを示す、つまり,(証明を始める段階では)どういった矛盾が生じるのか
と
ははっきりしていない。
