のグラフの共有点を考えるとよい.ただし,求めるのは0に関する方程式の解の個数
254 第4章 三角関数
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例題 139
三角方程式の解の個数
aを定数とする。. 0に関する方程式 cos°0-sin0+a+1=0 について
この方程式の解の個数をaの値の範囲によって調べよ.ただし,
0S0<2π とする。
考え方 三角関数の方程式なので,まず種類を統一する.ここでは, sin0にそろえる。
t=sin0 とおくと,tの2次方程式の解の個数の問題となるので, aを分離してっ
であるから,tと0の対応関係に注意する. ale 1
与式より,
ここで, sin0=t とおくと,
のは、
このtの方程式が解をもつのは,2つのグラフ
=ピ+t-2 と y=a が -1Sts1 で共有点をもつときで
ある。
sin'0+cos'0=1
解答
(1-sin'0)-sin0+a+1=0 …0
-1Sts1-6200S+0 0S0<2元 よh
-1Ssin0s1
2+t-2=a
a(定数)を分離する。
備をしなおく
y=P+t-2-(+)-
4 y=+t-2
1
9
y=a
(vi)
ソ=+t-2 と y=a
ソ=t°+t-2 と y=a の位
置関係と,そのときの
t=sin0 との対応は右の2つ
のグラフのようになる。
よって,求める解の個数は,(i)
1/
サ( のグラフの関係から
-1 2
はtの2次方程式の
解の個数しかわから
ないので,下のよう
にt=sin0 のグラ
(iv)
-2
9
つまり,
9
4
(vi)
4
フも対応して考える。
1
のとき,
2個
t=
2
(vi)
9
(i)-くa<-2 つまり,
-1くt<一一を
-くく0
(iv)
2元 0
1
π
2'
に1個ずつのとき,
() a=-2 つまり, t=-1, 0
のとき,
(iv)-2<a<0つまり, 0<t<1 に1個のとき,
(v) a=0 つまり, t=1 のとき,
4個
(vi)-
3個
1
2
2個
1個
9
() a<-, 0<a つまり, 共有点がないとき,
0個
Focus
sin0=t とおき換えた場合, tの値と0の個数の対応関係は
y=f(t) と t=sin0 の2つのグラフをかいて考える
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