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解答
(2) a+b+c=ab+bc+ca=3のとき, a, b, cはすべて1であることを証明せ
よ。
指針 まず, 結論を式で表すことを考えると、次のようになる。
(1) a,b,c のうち少なくとも1つは1である
⇔ a=1 または 6=1 または c=1
⇔a-1=0 または 6-1=0 または c-1=0
⇒ (a-1) (6-1)(c-1)=0
★
(2) a, b, cはすべて1であるα=1 かつ 6=1 かつc=1
⇔a-1=0 かつ 6-1=0 かつ c-1=0
(a-1)+(6-1)+(c-1)=0
よって、条件式から,これらの式を導くことを考える。
②13 (1)
(2)
142x
CHART 証明の問題 結論から お迎えに行く
(1) P=(a-1) (-1) (c-1) とすると
P=abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1
abc=1とa+b+c=ab+bc+ca を代入すると
P=1-(a+b+c)+(a+b+c)-1=0
よって
α-1=0 または 6-1=0 または c-1=0
したがって, a, b c のうち少なくとも1つは1である。
(2)Q=(a-1)+(6-1)+(c-1)2 とすると
Q=a+b2+c-2(a+b+c) +3
ここで, (a+b+c)=a+b2+c2+2(ab+bc+ca)
るから
ゆえに
よって
a+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)
=32-2・3=3
Q=3-2・3+3=0
α-1=0 かつ 6-1=0 かつ c-1=0
したがって, a, b, cはすべて1である。
指針 (1) の... の方針
結論から方針を立てる
ことは,多くの場面で有
効な考え方である。
|ABC = 0
⇔A=0 または B=0
またはC= 0
<指針(2)の__★の方針
実数 A に対し A'≧0
[等号はA=0のとき成
り立つ。]
これを利用した手法であ
る。
A'+B'+C2=0
⇔A=B=C=0
15 a
$16
◎17
練習 a b c d は実数とする。
④ 26
1
+ +
a
1 1
b
のとき,a,b,cのうちどれか2つの和は 0 である
1
a+b+c
C
ことを証明せよ。
(2) a2+b2+c+d=a+b+c+d=4のとき, a=b=c=d=1であることを証明せ
よ。
p.49 EX17
