赤線のところがわからないです。なぜこうなるんですか？

練習 @ 2 (1) (2)どちら (ANB)+) 別] 方程式を作る =n(AUB)- -169-64-105 図のように、を定めると 048-147 b+c=86 a+b+c+131=300 これらから (1) b=64 (2) a+c=105 ・U (300) A(147) a b C B (86) の結果を ←本冊300 照。 B B A 64 83 131 A 22 131 計86214 練習 デパートに来た客100人の買い物調査をしたところ, A 商品を買った人は80人, B商品 3 ある。また、両方とも買わなかった人数のとりうる最大値はで,最小値は 人は70人であった。 両方とも買った人数のとりうる最大値はで,最小値はイ 全体の集合を全体集合Uとし, A 商品, B 商品を買った人の 集合をそれぞれA, B とすると, 条件から n(U)=100,n(A)=80, n(B)=70 ( 両方とも買った人数はn (A∩B) で表され, n (A∩B) は, n(A)>n(B)であるから,ABのとき最大になる。 ゆえに n(A∩B)=n(B)=ア70 また,n (A∩B) は, AUB=Uのとき最小になる。 n(A∩B)=n(AUB)=n(U)-n(AUB) =n(U)-{n(A)+n(B)-n(A∩B)} 20 123 ③4 したがって 50$70 ≦n(A∩B)-50≦2 (A∩B) 20 練習ある高校の生徒140人を対象に、国語 ないかを調査した。 その結果, 国語が得 国語と数学がともに得意な人は18人 得意な人は101 人, 数学または英語が ない人は20人いた。 このとき、3科目 のみ得意な人は人である。 ANBI 生徒全体の集合をひとし、国語、 をそれぞれA, B, Cとすると n(U)=140, n(A)=86, n n(A∩B)=18,n(ANC)= n(BUC)=55,n (AnBr これから (AUBUC)=n(U)-r (C)=n(AUC)-n(A n(B∩C)=n(B)+n(C ここでn (AUBUC)=n(A -n(ANB)-n であるから、3科目のすべて n(A∩B)=n (AUB =120-86 また, 3科目中1科目の は、右の図の斜線部分で n(AUBUC)-n(Ar -n(ANC =120-18-15-15+ ←ADBのとき AnU(100). A(80) B(70) このとき n(A∩B)=n(A)+n(B)-n(AUB) =n(A)+n(B)−n(U) 20 (70) =80+70-100=50 次に,両方とも買わなかった人数はn (A∩B) で表され,LAUB=Uのとき TR-E-001- ・U (100) - A(80 ANB 練習 =100-80-70+n (A∩B) (50) 45 =n(A∩B)-50 B(70) したがって,n (A∩B) が最大, 最小となるのは, それぞれ n(A∩B) が最大、最小となる場合と一致する。 分母を700,分子を この集合の要素の 700=22・52・7である 5でも7でも割り切 よって最大値は 70-50=20,入る 1から699 までの整 最小値は 50-50=0 Uの部分集合のう 検討(ウ),(エ) 不等式の性質を用いて解くこともできる。 の集合をB, 7の ←数学Ⅰ 参照。

この問題の赤線部において、最小値に‪√‬をつけるのは何故ですか？🙇🏻‍♀️

146 ベクトルの大きさ(II) d=(-3, 1), (21) とするとき, at|の最小値とその ときの実数tの値を求めよ. 精講 145の大きさの公式を用いて計算すると, la +tはtの2次式 になります.あとは2次関数の最大・最小の問題で, これはIAで学んでいます. a+tb=(−3, 1)+t(2, 1)=(2t−3, t+1) ..|a+t62=(2t-3)2+(t+1)2 =5t2-10t+10 大きさの2乗 =5(t-1)2+5 よって, la + | は, t=1のとき、最小値5をとる. 参考 t=1のとき, 3つのベクトル, L, a + 君の関係は右図のようになって いて (a+b) ⊥となっています。 ↑3 < 2次関数の最大・最 小にもちこむ √をつけること を忘れずに YA a+b 2 このことについては,151 を参照してください。 -3 -10 2 x ポイント a = (x, y) のとき, lal=√2+y2

二次関数で区間が動く時の最大最小の問題です (2)の(ⅰ)で範囲を決める際に解答ではa+1<2となっていますが、a<a+1<2としてはダメなのですか？

のとき最小となりどん 最小値 -α+4a +5 (2) (i) a+1 < 2 つまり, a <1 のとき グラフは右の図のようになる. 2 2次関数の最大・最小 103 x=2 最小 軸が定義域の中央 り左にあるか右にあ るかで場合分けする. LOX aa+1a+2 (ii) α+1=2 つまり, a=1のとき x=2| 最小値 8 グラフは右の図のようになる。最小最 x=1, 3 のとき最小となり, (i) α+1>2 つまり,a>1のとき グラフは右の図のようになる. x=α+2 のとき最小となり, 最小値 -α+9 com 第2 a a+2 x=2 ((1)(S) 最小 よって, (i)~(i)より, + aa+1a+2 となるので、 に α <1 のとき, 最小値 - α2+4a+5 (x=a) a=1 のとき,最小値 8 (x=1,3) (1)la>1 のとき,最小値 -α'+9 mocus S+s (x=a+2) ま 最大・最小は定義域と軸の位置関係, グラフの対称性に注目

どうして(ⅴ)、(ⅵ)は最大値、最小値がないのですか？Yの範囲あるじゃないですか どなたか教えてください

基礎問 60 第3章 2次関数 35 最大 最小 (I) △(2) 関数 y=x-1+|2.x-4 (1≦x≦3) の最大値、最小値を求めよ。 〇 (1) 関数 y=-2x+1 (−2≦x≦3) の最大値、最小値を求めよ。 (3) 関数 y=x²-2x-1 について次の定義域における最大値、 最小値を求めよ. Qi) すべての数 (ii) -1≦x≦0 (3) -1 よって グラフ * (4) また () I Q (iii) 2≦x≦3 (iv) 0≤x≤2 △(v) -1 <x<2 2 (vi) 3<r<4 グ よ |精講 関数の最大値や最小値を求めるとき,与えられたæに対して、 のyの値だけを考える人がいますが,これは誤りです (26ポイント 必ず,グラフをかいて,両端以外の山や谷になっているところの の値も考えなければなりません。 (1) 右のグラフより, x=2のとき, 最大値 5 x=3のとき, -2x+4 (1≦x≦2) 最小値 -5 (2) 2x-4={ だから 2x-4 (2≤x≤3) y=x-1+|2x-4| [-x+3 (1≦x≦2) 13-5 (2≦x≦3) 3 -20

なぜ(2)でD>0というのが必要条件なんですか？　f’(x)が異なる二つの解を持てば絶対極値も持つのかと思ったのですが、、、

基本 例題 la は定数とする。 関数f(x)= x+1 たは範囲をそれぞれ求めよ。 (1) f(x) がx=1で極値をとる。 (2) f(x) 極値をもつ。 95 関数が極値をもつための条件 00000 x2+2x+α について,次の条件を満たすαの値ま の比 1 x 指針 /P.162 基本事項 2. 基本94 重要 96 \ 円 f(x) は微分可能であるから f(x) が極値をもつ⇔ [[1] f(x) = 0 となる実数α が存在する。 物線 f'(x) = 0 [2] x=αの前後で f(x) の符号が変わる。> まず, 必要条件[1] を求め, それが十分条 f'(x)/ f'(x) f'(x) 大 f'(x) <0 極 <0 小 >0 件 ([2] も満たす) かどうかを調べる。 f(x)=0 (1) f'(1) = 0 を満たすαの値(必要条件) を求めてf(x)に代入し, x=1の前後で f'(x) の符号が変わる (十分条件) ことを調べる。 (2) f(x)=0 が実数解をもつためのαの条件(必要条件) を求め、 その条件のもとで, f(x) の符号が変わる (十分条件)ことを調べる。 なお, 極値をとるxの値が分母を0としないことを確認すること。 定義域は,x2+2x+α≠0 を満たすxの値である。 解答 f'(x)=1x2+2x+a)(x+1)(2x+2) (x2+2x+α) 2 f(x) の (分母)=0 x2+2x-a+2 (x2+2x+α) 2 02 (1) f(x) は x=1で微分可能であり, x=1で極値をとる とき f'(1)=0 (分子)=1+2-a+2=0, (分母)=(1+2+α)'≠0 (x+3)(x-1) <必要条件。 4 章 2 関数値の変化、最大・最小 範囲の よって a=5 このとき f'(x)=-- <a=5は の解。 てもよ (x+2x+5)2 ゆえに、f'(x) の符号はx=1の前後で正から負に変わ り, f(x) は極大値f (1) をとる。 したがって (2) f(x) が極値をもつとき、f'(x) = 0 となるxの値cが あり, x=cの前後でf'(x) の符号が変わる。 よって 2次方程式 x2+2x-a+2=0 の判別式Dについ て D0 すなわち 12-1(-α+2)>0 a=5 十分条件であることを示 す。 (この確認を忘れずに!) y=x2+2x-a+2 + + そこ 注意し これを解いて a>1 このとき、f'(x)の分母について {(x+1)^+a-1}'≠0 であり、f'(x)の符号はx=cの前後で変わるから f(x) は極値をもつ。 したがって a > 1 C₁ C2 I x=c(C1とC2の2つ)の前 後でf'(x) の符号が変わる。 191 練習 95 関数f(x)= ekx (kは定数) について [類 名城大 ] x2+1 (1) f(x) がx=-2で極値をとるとき, k の値を求めよ。 (2) f(x)が極値をもつときのとりうる値の範囲を求めよ。 p.191 EX90(2)、 S0) のと を表

解答2行目の2分のルート5はどこからきましたか？

x ough 眼科書 教 p.147 1.xであるとき, 関数 y=sinxcosx+2cosxの最大値と最小値を 求めよ。 指針 sinx, COSX の関数の最大・最小 まず, sin xcosx に 2倍角の公式を Cos'x に半角の公式を用いて, 角を2x にそろえる。 次に, 三角関数を合成して,関 数の最大値と最小値を考える。 解答 sinxcosx+2cosx=- x=/ -sin2x+cos2x+1 √5 2 -sin(2x+α)+1 2 ただし, αはsinα = cosa = √5' √5 1を満たす。 さらに, sin a, cosa の値から 0<a<で考えると 2 25 広く着くからなく 4 また,xから a≤2x+a+a asextasuota よって, sin(2x+α) は 2x+α=1のとき最大値,2x+α=1+α すなわち, x=2のとき最小値をとる。 したがって 最大は1+1+1 最小値は 藤小価は1+2 (パー 3 = 2 2 +a. 1 0 Gill 255

(2)で、2枚目の写真のところまではいったのですが、その先がわかりません！ 内積は−1/2、2a+bの大きさは√19です

[I] A型受験者用 座標平面上において,原点中心, 半径20円C上に2定点A,Bがあり, AB=3を みたしている。 →→ (1) OA=α, OB = 6 とおくとき, 内積 a b と 2 + b の値を求めよ。 (2)点Pが円 C上を動くとき, |2PA+PB| の最大値および最小値を求めよ。

青のマーカーのとこが分からないのですが、なんで 「0≦x≦2」なのに、[1]では、0以下のこと、[3]では、2以上のことを考えないといけないんでしょーか💦

48 第3章 2次関数 例題文字係数の2次関数の最大・最小 (軸が動く) は定数とする。 関数 y=-x2+4ax-a (0≦x≦2) の最大値を求め 例 よ。 この関数のグラフの軸は 直線 x=2a 解答 y=-x2+4ax-a を変形するとy=(x-2a)2+4a²-a 5 ← 軸の位置で場合分け。 [1] 2α <0 すなわち α <0 のとき 関数のグラフは図 [1] の実線部分である。 よって, yはx=0で最大値-αをとる [2] 0≦a≦2 すなわち 0≦a≦1 のとき 関数のグラフは図 [2] の実線部分である。 よって, yはx=2α で最大値4² -a をとる。 [3] 2<2a すなわち 1 <α のとき [1] 関数のグラフは図 [3] の実線部分である。 よって, yはx=2 で最大値 -2+4a・2-a=7α-4 をとる。 2a YA a 最大 2 [2] YA 最大 4a²-a [3] y 最大 7a-4 0 0 2a 2 x 22a -a x -a

2行目から3行目にどうしてもできません。 解説して頂きたいです🙇🏻‍♀️

26 加法定理の応用 69 例題 三角関数の最大・最小 (sin, cos の2次同次式) ★★★ 720≦x≦πのとき、関数 y=3sin'x+2√3 sinxcosx+5cos' x の 最大値と最小値を求めよ。 また、そのときのxの値を求めよ。 解答 1-cos 2x y=3.. +2√3. 2 sin2x 2 1+cos 2x +5•• ← 2 - yを角2xの三角関数 です。 =√3 sin2x+cos2x+4 -2sin(2x+4)+4 √3 sin2x+cos2x を合成して rsin (2x+α) の形に変形。 π 13 0≦x≦のとき≦2x+ - 6 6 6 であるから,y=2sin (2x+/)+ +4 は π 2x+= で最大値 2+4=6, 2x+=123πで最小値 -2+4=2 6 2 6 3 をとる。 よって x=7 で最大値6.x=2/23πで最小値 2 B.. 第4章

矢印以下のグラフの書き方が分からないです😭 CとDの両方のグラフの書き方を教えて頂きたいです😭😭

•5 最大・最小を候補で求める a>0 とする.f(x)=x(x-3a)(0≦x≦1)の最大値をαの関数とみてg (a) とおく. (1) g (a) を求め, ab平面にb=g(α) のグラフの概形を描け. (2) g(α)の最小値とそれを与えるαの値を求めよ. 最大・最小の候補を比較 閉区間 (a≦x≦βの形の区間)で定義された関 数 f(x) の最大値・最小値は '区間の端点での値'または'極値”のいずれか である.極値を与えるxの値が定数αの入った式である場合, 式だけで最大最 小を考えるよりも,先に最大値(最小値)の候補となる値('区間の端点での値' と‘極値')のグラフを描いてしまい,それらを比べる方が見通しがよい. 解答言 (1) f(x)=x(x-3a)2=x3-6ax2+9ax f'(x) =3x2-12ax+9a²=3(xa)(x-3a) 図1 y=f(x) 4a3 f(a)=4a3, f(3α)=0であり,a>0より y=f(x)のグラフは図1のようになる. 84 (関大 総合情報) 極 値 区間の端点での値 [極大値を与えるx=αが0≦x≦1に入っている かどうかで場合分け] O a 3a 積の微分法 {g(x)(x)}' =g(x)h(x)+g(x)h'(x) を使うと, f'(x) =1(x-3a)+x2(x-3a) 図 2 =(x-3a){(x-3α)+2x} 0≦a≦1のとき YA YA =3(x-3a)(x-a) 最大値はf(a)(=4α) f(1)(=(1-3a)2) 15 C の大きい方 (図2). a 1 セットで a 1 1≦a のとき 図3 最大値はf(1)(=(1-3a)) (図3) YA ここで チェリュー(エリー(エ)ギュー(仮) C: b=4a³ (0≤a≤1) D: b= (1-3a)2 のグラフを描く. .. . (4α-1) (a-1)2=0 0<a<1での, C, D の交点を求めると 4a=(1-3α) 2 4a3-9a2+6a-1=0 O X A la 図 4 b₁ 4 (い C:b=4a3 より (1/4,1/16) b=g(α) のグラフは,図4の太線部であり, 1/4≦a≦1 g(a)=(41-3a)²/ <a≤1/4, 1≤a 19 D: 1 16 b=(1-3a)2 16 この式は,f (a) = f (1) を変形 したものであるからα=1が解で あり, (a-1)で割り切れる. O 11 43 ←C,D のうち, 高い方をたどった ものがb=g(a) のグラフ. 1 (2)図4より,a= 4 のとき,最小値9 (12) (1/4) 1/16 をとる。 =