(3)についてなのですが、きっとはさみうちの原理を使うだろうなと思いつつも、どのように挟めばよいかが思いつかないです。どのようにすれば思いつきますか？回答よろしくお願いします。

必解 206. や (IRI αを実数とし、数列{x} を次の漸化式によって定める。 X=a, Xn+1 = Xn+xm² (n=1,2, 3, ......) α > 0 のとき, 数列 {x} が発散することを示せ。 -1<a<0 のとき,すべての正の整数nに対して -1<x<0 が成り立つことを 示せ。 1 <a< 0 のとき, 数列{x} の極限を調べよ。 [19 東北大・理系]

青チャート数学Ⅲ77ページの練習45です 重要例題45の⑵と同じ様に 練習45もこのようにやったら間違いですか？

(1) すべての自然数nに対して、1+1が成り立つことを証明せよ。 1 1 k=1 1 (2) 無限級数1+ n + +....+ +...... は発散することを証明せよ。 2 3 ・基本 34, 重要 44 指針 (1) 数学的帰納法によって証明する。 (2) 数列{1} は0に収束するから、p.63 基本例題 34のように,p.61 基本事項 ② を利用する方法は使えない。 そこで, (1) で示した不等式の利用を考える。 n2" とすると k=1 k k=1 1/11/ 4 ここで,m→∞のときn→∞となる。 (1) k ≥1/12+1 ① とする。 無限級数 阻 解答 [1] n=1のとき k=1k 1/2=1+1/2=1/1/3+1 よって, ① は成り立つ。 +1 [2]n=m(m は自然数)のとき,①が成り立つと仮定すると100+ このとき 2 11+1 k=1 k (+1)+2+1 2m+1 k=2m+1 k 1 1 + ++ 2m+2 2m+1 > m2m2 1 1 +1+ + ++ 2m+1 2m+2. 2m+2m_ 1 m+1 +1+ .2m= +1 2m+1 2 よって, n=m+1のときにも ① は成り立つ。 1 12m+1=2m2=2"+2" 1 1 2m+1 2+2+2 (2+) 2m+k (k=1, 2,., 2-1) [1] [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。 (2)S=2とおく。 n≧2" とすると, (1) から k=1 k m m Sn≥ +1 ここで,m→∞のときn→∞ で lim (7/27 +1)=0 .. limSn=∞ m-oo 8012 したがっては発散する。 an≦bnでliman=∞⇒limbn=∞ (p.343②) 72-00 12-00 n=1n 重45の結果を開いて、無限級数学は発散 0 (2)より、 m を示したい 同様に n Th=8とおく。≧とすると、 k=1 12/2計++言を計計+2より 2m m Th≥ 8 +1 : lin Th=00 " 題意は示された

解説の方で、-0というところがどういう意味かわかりません。また、なぜ分母の片側極限が-0になるからこの関数の極限は負の無限大に発散するのかもわかりません。教えていただきたいです。

(2) lim x-1 x-1-0 √x-1

数3の無限級数についての質問です 61(1)の解答冒頭の 1/3n-1－1/3n+2と変形できると書いてあるのですが なぜこの形に変形できるのでしょうか？

ゴ 61 次の無限級数の収束, 発散について調べ, 収束するときは和を求めよ。 80 00 3 (1) Σ (2) Σ 1 (3n-1)(3n+2) =√3n+1+√3n-2 ] 62 次 無限等比級数の収束, 発散を調べ, 収束するものについてはその和 68 次の 求め、 (1) P.33m (2) 69 無料 026 3 無限級数 本編p. より 31 1 61 (1) (3n-1)(3n+2) 3n-1 3n+2 と変形できるから,初項から第n項までの n→∞o a-2a 3-2-1-1. 21 よってS(1-.pl).d 1 n→∞ 3 limSlim (√3n+1-1)= S=Σ 部分和を S, とすると n 3 -1 (3k-1)(3k+2) ゆえに、この無限級数は発散する れば n = Σ (3k-13k+2)の1次方翻式 -(11)+(1-1)+(21) 8 tr=13 62 (1) 初3,公比r= ||<1であるから収束し ③ ④ より その和は 3 = 9 1 2 3 I+. で, (2) +: 1 1 mil- 2 3n-1 3n+2/ (2)初項 3,公比r=- で, 3 1 3n+2 よって limS=lim n→∞ /11 \ 1 ゆえに、この無限級数は収束し その和は 2\ 5 1- ||<1であるから収束し 39 3. n→002 3n+2/ 2 (3)初項 その和は 1/2である。 1 2√3 公比r=√2で. r≧1であるから発散する。 (4)初項 -5,公比r=-1で, ≧1であるから発散する。

(4)の問題の解き方がわからないので教えてください

26 第n項が次の式で表される数列の収束・ 発散を調べよ. (1) 4m²+1 3-2n2 2"+5n+1 (3) 5-2 (2) √√n²+n-√n (4)log(n+1)-logn

【極限】 区別する方法を教えてください！大問81だけ他の問題と違う考え方をしないといけないのは解答を見て分かりました。だけどきっとテストに出てきたら普通に解いて間違えます。区別する方法ってあるのでしょうか…教えてください🙏

極限 x²+3x +3 +8 2x2-5x+2 *79 (1) lim (2) lim (3) lim x-0 x t--2 1+2 2x-1 x-> x3+x+2 (4) lim x -1 x²+x (5) lim - (+32) 1/6 0788 ☐ 2x x-0√3+2x-√3-2x -√2x+3 ☑*80 (1) lim (2) lim x-3 x-3 x-1 x-1√x+8-3 (3) lim 81 (1) lim (x-3) 1 2) (2) lim (2-3) *(3) lim x-2(x+2)21) 3x+4 (1) es

赤マーカーの部分がなぜこうなるのかわかりません。※ （①〜④）の部分 教えて下さい🙇‍♂️

7 極限が存在するように定数を定める 2x2+ax+a+1 (ア) lim- =bと書けるとき, α = b= 」である. x-2 x²+x-6 (中部) (イ) αを実数とする. a= ] のとき, lim (4x'+x+ax)は有限な値 」をとる. →+∞ (関西大 社会安全, 理工系) 分数式の極限が存在するとき 分母0のとき, 分子 分母 は分子→0でなければ発散する。つまり。 分母 (分母→0で →有限のとき,分子=分子 分数式の極限が存在するとき, 分母→0なら分子→0となっていなければならない. 分子 -×分母→有限×0=0, と説明することもできる 分母 精密に調べる前に (イ)では,“分子の有理化”をするが,変形する前にαの符号を調べておこう。 lim√42+xなので, a≧0のときは与式は∞に発散してしまう。よって&<0でなければならな X100 このときはもは 00-00 不定形では? いことがまず分かる.また,x→∞を考えるときはとしてよい.x2=|x|=xなどとすることが できる. ■解答 SMART (ア) →2のとき, 分母=x²+x-6→4+2-6=0であるから, 分数式の極限値 bのとき,分子→0でなければならない. 覚えない よって, 2･22+α・2+α+1=0であるから, a=-3 2x2+ax+a+1 2x²-3x-2 このとき, (x-2) (2x+1) x2+x-6 x2+x-6 (x-2)(x+3) 2x+1 5 (2 =1 x+3 x-2 5 =1 ← <3a+9=0 する ←分母分子とも, x=2のとき0 なので,ともに2を因数にも (因数定理) r-2で約分され て不定形が解消する. (イ) lim√42+x=+∞であるからa < 0 である. →+∞ (42+x)-(ax)2 √2+x+ax=- √√4x²+x-a ax (4-a2)x²+x (4-a²)x+1 ( 参照. √√4x²+x+ax の分子を有理化 = == √√4x²+x-ax 4+ a ・① 分母が0以外の値に収束するよ IC うに、分母分子をxで割った。 ④ のとき,①の分母→2-α(0) となるから, ①が有限な値に収束する とき, 4-α2=0 1 a <0によりα=-2であり, lim ① = x178 √A 2+2 -a 4 4-α>0のとき ①→∞ 4-2<0 のとき ①→-8

1.2の逆が成り立たない例を教えて欲しいです。

(2) 5 無限級数の収束・発散条件 21.* 8 2= "が収束する liman=0mi 1 無限級数 an n=1 = n→∞ =1-2, 3 8 2 数列{a} が 0 に収束しない 無限級数 2 αn は発散する [補足 n=1 2は1の対偶である。 また, 1, 2とも逆は成り立たない。

(2)と(4)の解き方がわからないので教えてください。

第n項が次の式で表される数列の収束・ 発散を調べよ. 4m²+1 (1) 3- 2n² 2"+5+1 (3) 5" - 2 (2)√2+n-vn (4) log(n+1)-logn

この問題のActionのところに書いてある、無理関数を含む不定形の極限は、分子または分母を有理化せよというのがなぜなのかが分かりません。どのようなメリットがあるのでしょうか？回答よろしくお願いします。

例題 52 極限と保数決 次の等式が成り立つように、定数a, bの値を定めよ。立た lim{√x2-2-(ax+b)}=0 8+xp+5 x→∞ 8-4 候補を絞り込む (2) a > 0 のとき a = 0 のとき →b ∞∞の不定形 与えられた等式を は-6台)] 満たすのは, この場合のみ。 8-1 ∞+∞∞ 思考プロセス la < 0 のとき α > 0 で考える。 Action» 無理関数を含む不定形の極限は,分子または分母を有理化せよ 解 a≧0 のとき,与えられた極限は∞に発散するからa>0 lim√x2 -2 = ∞, √x2-2-(ax + b) 0 = (x) m {√x²-2-(ax+b)}{√x-2+(ax+b)} √x2-2+(ax+b) -0-0-(1-a²)x2-2abx-(2+b²) == √x2 -2 +(ax+b) x→∞ a < 0 のとき mi lim{-(ax + b)}=∞ x→∞ a = 0 のとき lim{-(ax + b)} = -6 x→∞ TA よって, a≧0 のとき (与式)。 2+62 + (1-α2)x-2ab x 010 2 b 1- +a+ 2 x" x よってx→∞ のとき,これが収束する条件は 1-α2 = 0 a>0より α = 1 であり,このときの極限値は (+x+im{√x²-2-(ax+b)} lim{vx2-2-(ax+b)}=∞ 分子を有理化する。 x→∞より,x > 0 と考 えて、分母分子を x で 割る。 (S) SIS 8 分母のみの極限値は lim 2 2+62 81X x2 +a+ - 26 x x ・26 =1+α lim -b 80+x 2 b 2 1 +1+ 2 であるが, a>0より 0 にならない。 x x ゆえに したがって b=0 a=1,6=0