したがって,
EX
yzは実数とし, (2),(3) については,2,5が無理数であることを用いてもよい。
次の命題の真偽をいえ。 真のときにはその証明をし、偽のときには反例をあげよ。ただし
(1)x+y+z=0, x+y+z=0のとき, x,y,zのうち少なくとも1つは0である。
(2) xxが有理数ならば、 xは有理数である。
(3) x,yがともに無理数ならば, x+y, x2+y2のうち少なくとも一方は無理数である。
(1) 立教大, (2),(3)
③ 42
HINT (1) x,y,zのうち少なくとも1つは0⇔xyz=0
(1) 真
(証明) x+y+z=0から z=-(x+y)
x+y+z=0 に代入して
(x+y)³−3xy(x+y)−(x+y)³=0
ゆえに
よって
-3xy(x+y)=0 すなわち xyz = 0
したがって,x,y,zのうち少なくとも1つは0である。
別解 [x+y+α-3xyz の因数分解を利用]
x+y+z²-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+22-xy-yz-zx) に ←本冊p.39 参照 @
x3+y+z=0,x+y+z=0を代入すると
よって,x,y,zのうち少なくとも1つは0である。
(2) 偽
(反例)x2+x=1 とすると
これを解いて
√5は無理数であるから, xは無理数である。
(3) 偽
-1±√5
2
x=-
x+y-(x+y)=0
x2+x-1=0
(例)x=√/2,y=-√2 のとき
r
が,x+y=0
2
-3xyz=0
3
←xsty3
=(x+y)³−3xy(x+
C
←2次方程式
ax²+bx+c=0の解は
-66-1
20
