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基本 例題 58 漸化式と数学的帰納法
an
α=1, an+1= 1+(2n+1)an
によって定められる数列{az} について
基本 55
(1) az, as, a を求めよ。
(2)an を nで表す式を推測し, それを数学的帰納法で証明せよ。
指針 漸化式から一般項 α を予想して証明する方法があることは p.465 参考 で紹介した。
ここでは、その証明を 数学的帰納法で行う。
CHART nの問題 n=1, 2, 3,
で調べて, n
の式で一般化
247
a1
(1) a2=
1+3a1
解答
1+3.1=1
1
a2
a3
1+5az
1+5°
4
=
1_1
4+59'
a = 1 も利用。
漸化式に n=2 を代入。
11/14 も利用
az=-
4
漸化式に n=1 を代入
1
a3
9
1+7a3
1+7.-
=
16
1 9+7 16
1
_1
漸化式にn=3 を代入
a3=
9
も利用。
1
2
n
(2)(1) から, an =
[1] n=1のとき
a₁
=1/2=1から,①は成り立つ。
[2]=kのとき, ①が成り立つと仮定すると
① と推測される。
11011111111111110101
4 9
分子は 1, 分母は 12, 2
32,42,
ak=
****
②
k2
n=k+1のときを考えると, ②から
1
ak
k2
ak+1=
1+(2k+1)ak
1
1+ (2k+1) ・
分母分子に k² を掛け
る。
k2
1
=
=
1
k2+(2k+1) (k+1)2
よって, n=k+1のときにも ①は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立
n=k+1のときの①の
右辺。
つ。
