よって,漸化式 an+2+ pan+1+qan=0 と a1, a2が与えられたとき
2次方程式 x°+px+q=0 が異なる2つの解 a, βをもつならば、瀬
発展
隣接3項間の連斬化式
次の条件によって定められる数列 {an} の一般項を求めてみよう。
a=1, az=4, an+2-5an+1+6an=0
この漸化式は,次の2通りに変形することができる。
の
an+2-2an+1=3(an+1-2an)
5
2
an+2-3an+1=2(an+1-3an)
のより,数列 {an+1-2an} は公比 3,初項 a2-2a, =2 の等比数列で
あるから
550
3
an+1-2an=2·37-1
十)
のより,数列{an+1-3an} は公比2,初項 a2-3a, =1 の等比数列で
10
あるから
An+1-3an=27-1
の
3-のから
an=2·3"-1-2"-1
よって,数列{an} の一般項は,漸化式 an+2-5an+1+6an=0 を①.
15 2の形に変形することによって求められる。
一般に,漸化式an+2+ pan+i+ qan=0 において, p=-(α+B),
q=cB である a, βを用いると, この漸化式は次のように変形すること
ができる。
An+2-Uan+1 =B(an+1-Qan)
の
an+2- Ban+1 = α(an+1- Ban)
p=-(α+B), q=aβ である2数 α, Bは、 解と係系数の関係により。
20
2次方程式 x°+x+q=0 の解として求めることができる。
よって,漸化式 an+2+ pan+1+qan=0 と a. deが与えられたと
2次方程式 x°+x+q=0 が異なる2っの解a. Bをもつならは、
25 式をO, ②' の形に変形して一般項 an を求めることができる。
