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おし
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解答
重要 例題 90 2変数関数の最大･最小 (2)
(1) x,yの関数P=x2+3y²+4x-6y+2の最小値を求めよ。
(2) x,yの関数Q=x2-2xy+2y2-2y+4x+6 の最小値を求めよ。
(1,2), 最小値をとるときのx,yの値も示せ。
指針
(1) 特に条件が示されていないから,x,yは互いに関係なく値をとる変数である。
このようなときは,次のように考えるとよい。
①x,yのうちの一方の文字 (ここでは」とする) を定数と考えて, Pをまずx
の2次式とみる。 そして, P を基本形α(xp)+αに変形。
②2 残ったg(yの2次式)も、基本形 b(y-r)+s に変形。
③3 P=aX+b\'+s (a>0,6> 0, s は定数) の形。
→Pは X=Y=0のとき最小値s をとる。
(2) xyの項があるが, 方針は (1) と同じ。 Q=a{x-(by+c)}'+d(y-r)'+sの形に変
形。
CHART 条件式のない2変数関数 一方の文字を定数とみて処理
(1) P=x2+4x+3y²-6y+2
=(x+2)^-22+3y²-6y+2
=(x+2)^2+3(y-1)^-3・12-2
=(x+2)+3(y-1)2-5
x, y は実数であるから
(x+2)2≧0, (y-1)≧0
? よって,Pはx+2=0, y-1=0のとき最小となる。
ゆえに
x=-2, y=1のとき最小値-5
(2) Q=x2-2xy+2y²-2y+4x+6
=x2-2(y-2)x+2y²-2y+6
={x-(y-2)}^-(y-2)^+2y²-2y+6
=(x-y+2)^+y²+2y+2
=(x-y+2)+(y+1)^-12+2
=(x-y+2)^2+(y+1)+1
x, y は実数であるから
(x-y+2)^2≧0, (y+1)^2≧0
よって, Q は x-y+2=0, y+1=0のとき最小とな
る。 x-y+2=0, y+1=0 を解くと x=-3, y=-1
ゆえに
x=-3, y=-1のとき最小値1
[(2) 類 摂南大]
基本79
まず, xについて基本形に。
次に, yについて基本形に。
<P=aX2+by+sの形。
(実数) ≧0
<x+2=0, y-1=0を解く
とx=-2, y=1
x2+x+■の形に。
まず, xについて基本形に。
次に, yについて基本形に。
Q=ax2+bY2+s の形。
(実数) ≧0
最小値をとる x,yの値は,
連立方程式の解。
練習 (1) x,yの関数 P=2x2+y²-4x+10y-2 の最小値を求めよ。
90 (2)xの関数Q=x²-6xy+10y²-2x+2y+2の最小値を求めよ。
なお (1), (2) , 最小値をとるときのx,yの値も示せ。
p.160 EX 63
