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実戦問題 73 三角関数を含む方程式・不等式
イ
ケ
0は 0≦02 を満たす定数とし, xの2次方程式 x+2(1-cos0)x +3-sin'0-2sin20-2sino
(1) 方程式 (*) が異なる2つの実数解 α, β をもつとき, 0 は不等式 2sin20+ ア sin
満たす。このことから, 0 の値の範囲を求めると、
(2)x = sin が方程式 (*) の解となるような角0は全部で
オ
π,
I
カ
キ
ク
サ
さらに0が鋭角のとき, 方程式(*)の x = sin0 以外の解はx=
個ある。
[シス +√
<日<
0... (*)
coso
を考える
πである。
解答
(1)xの2次方程式 f(x)=0が異なる2つの実数解をもつとき判別
式をDとすると
D > 0
D
= (1-cos)2- (3-sin20-2sin 20-2sin0)
4
である。
ax²+2 bx + c
6-C
>0を
sin20=2sin0 coso
AB > 0⇔
[4<0
(A>0
または
B>0
[B<0
1
1
2
よって
= 2sin20+2sin0-2cos0+ (sin' + cos20) -2
= 2sin20+2sin0-2cos0-1
= 4sincos0+2sin0-2cos0-1 (2sin-1) (2cos0+1)
(2sin-1) (2cos0+1)>0
002 の範囲に注意して
(i) sin0 > かつ cos
mie200+
2000
200
のとき
1
sinO >
2
Key 1
1
5
π
sin0 >
より
<<π
2
2
cose >
より
2
3
<8<
6
(1,200+7nie)
0≤0</, <<2π iz E)
よって,この共通部分は
4
2
-π
-
1
(ii) sin0 <
かつ cos<-
2
1/2のとき
cose >
W=
Key
1
sin<
π
5
より
π < 0 <2π
E
6
sin<
cose <- 10より
4
12
π
2
3
よって、この共通部分はx500
(i), (ii) より
π
<<
(注)より1/01/2
5
3
<0·
π
12
<cos
2
-/ -
(2) x = sin0 が方程式 (*)の解であるとき
sin20+2(1-cost)sin0+3-sin20-2sin20-2sin0 = 0
y
11
I
整理すると, 3(sin20-1) = 0 より
sin20=1
0≦204πの範囲で
20 =
元 5
2' 2
π
π 5
よって、条件を満たす 0 は 0
'
4 4
πの2個。
20 の値のとり得る範囲に注意
する。
さらにが鋭角のとき, 0 π
==
であるから
4
方程式 (*) は
x2+(2-√/2)x + 1/1 (1-2√2) = 0
左辺を因数分解して
x
x
= 0
方程式 (*) はx=sin-
π
1
よって, x = sin
=
√2
以外の解はx=
2=
-4+√2
2
を解にもつことがわかってい
るから、 因数分解する。
のカギ!
