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基本 88 曲の接線の長さに関する証明問題
00000
曲線x+2y=(a>0)上の点Pにおける接線がx軸, y軸と交わる点を
それぞれA,Bとするとき, 線分ABの長さはPの位置に関係なく一定である
ことを示せ。 ただし, Pは座標軸上にないものとする。
(類岐阜
指針 まず 曲線の対称性に注目 すると (p.178 参照), 点P は第1象限にあるつまり
P.1(2010)としてよりは基本83 (1) C同様にして点 における
接線の方程式を求め,点A,Bの座標を求める。様の長さがPの位置に関係
<一定であることを示すには,AB' が定数 (8,1に無関係な式)で表されることを祈
√√x²+√√y²=√√a² (a>0)
・・・... ① とする。
解答 ① は x を -x に, y を -y におき換えても成り立つから,
曲線①はx軸, y 軸, 原点に関して対称である。
どこから
58739
よって、点Pは第1象限の点としてよいから,
P(s, t) (s>0, t>0) とする。
また,s = p,t=g(p>0,g>0) とおく。 ...... (*)
y
B
P
a
0
a
A
(xacosif
ー
x>0,y>0のとき,①の両辺をxについて微分すると
2
+
2y'
33√x 3√y
-=0
ゆえに
よって、点Pにおける接線の方程式は
Ly=asing
(*) 累乗根の形では表記
が紛れやすくなるので
文字をおき換えるとよい。
y-t=-
(x-
ゆえに y=-
= ——— ( x − p³) +q³ ..
@Ty=0¿¢b¿_x=p³+pq² :. A(p(p²+q²), 0)
<s=p, t=q3
40=-(x-p³)+q³
両辺にを掛けて
0=-gx+qp3+pq^
ゆえに x=p+pq^
x=0 とするとy=pq+g° ∴
B(0,g('+q2))
よって
AB²={p(p²+q²)}²+{q(p²+q²)}²
=(p²+q²)(p²+q²)²=(p²+q²)³
=(2s2+2/+2)=(ya²)=α²
したがって, 線分ABの長さはαであり,一定である。
<a>0
曲線x2+y^2=(a>0) ① は媒介変数 0 を用いて
る。この曲線を アステロイドという。アステロイドはx軸, y 軸, 原点に関して対称である。
なお, アステロイドは, サイクロイド (p.137の検討) に関連した曲線である。 その他のサイクロ
イドに関する曲線について, p.638 で扱っている。
x=acos'0
y=asin'0
②と表され
練習曲線√x+y=√a (a>0) 上の点P (座標軸上にはない)における接線が,x軸
③ 88 y 軸と交わる点をそれぞれA, B とするとき, 原点0からの距離の和 OA+OBは
一定であることを示せ。
p.153 EX85
