-
![]()
第3問 数列
出題のねらい
• 等差数列. 等比数列の一般項とその和を求められる
か。
・Σを用いた数列の和の計算ができるか。
・階差数列を利用して数列の一般項が求められるか。
解説
{a} は等差数列であるから.
すなわち,
2-y=0
のときであるから,
y=2
このとき,
Cn=3{(2-2)n+4-2}-2 +1
=6.2"+1
=24.2"-1
であるから, ②ck は初項 24. 公比 2.項数nの等
Ck
as+a=2a6
よって,
比数列の和となり
......ア
24(2"-1)
Ck=
k-1
2-1
(2x+4)+(x+17)=2.3.z
より
である。
x=7
......イ
このとき, as=18, 46=21 となり{anの初項をα.
公差をdとすると,
d=ac-as
=21-18
=3
より、
as=a+4d
=a+4・3
=18
a=6
よって,
an=a+(n-1)d
=6+(n-1)・3
=3n+3
また.
bm=230m
=2+1
=4.2"-1
であるから, {bm} は
=24 (2-1) D
······ク~サ
(2)=(abi-yabi)
k-1
=a+b+1-y yarb
=(azbz+asbs+... +anbn+an+1bn+1)-ySn
={a,b+azbz+
......
+anbn)
+an+1bu+1-abı}-ySm
=(aibatan+1bm+1-a,b)-ySm
k-1
=Sn+an+1bw+1-6・4-yS
=(1-y)Sn+an+1bs+1-24 ...... ②
......シ, スセ
(3) 数列{d} の初項が1で, {dn} の階差数列が {ambm
......ウ, エ
であるから, n≧2のとき,
dm=d+ +arbe
=1+S-1
......③
ここでy=2として ① ②より、
=-Sn+an+1bn+1-24
CK
Ck 24(2"-1)
k-1
初項 4. 公比 2
･･････オカ
の等比数列である。
よって,
(1)
Cn=an+1bg+1-yanbu
=(3n+6) 2"+2-y(3n+3) 2月+1
=3{(n+2).2-y(n+1)}.2"+1
=3{(2-y)n+4-y}.2"+1
これが等比数列の一般項になるのは,
3{(2-y)n+4-y}が定数
Sn=an+1b月+1-24.2" (n=1,2, 3, ······)
n≧2のとき、
S-1=anbm-24-2-1
=(3n+3)-2"+1-6・2+1
=3(n-1) 2 +1
したがって, ③より, n≧2のとき,
dn=1+3(n-1)-2+1
また, d=1
以上より, n=1,2,3,
dn=1+3(n-1)・2"+1
のとき,
.......ソ~ツ
