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接線の方程式 (2)
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(1) f(x)はxについての多項式とする.
曲線 y=f(x) 上の点P(a, f(a)) を通る直線y=mx+nがPにお
けるCの接線であるための必要十分条件は
f(x)-mx-n=0 が x=a となる重解をもつ
ことである.これを証明せよ。
( 福岡教育大 )
(2) 直線y=m(x-1) と曲線 y=(x-1)(x+a)(x-a) が接するときの
の値を求めよ.ただし,αは0<a<1 をみたす定数とする.
(島根大)
(1)y=mx+n が P(a, f(a)) にお
ける接線であるということは,
mx+n=f'(a)(x-a)+f(a)
が任意のxに対して成り立つということです。
一方,g(x)=f(x) -mx-n とおくと
, 精講
g(x) は多項式であり,
方程式 g(x)=0が重解αをもつ
ための必要十分条件は
g(a)=g'(a)=0
(標問94)
でした.g(a), g'(a) の中に, f(a),f'(a) が現れ
ますから,m,nの条件とつながります.
(2) g(x)=(x-1)(x+a)(x-a)^-m(x-1) と
して (1)を利用します。
日 219
解法のプロセス
(1) 点 (a, f(a)) における接線
がy=mx+nである条件(A)
を式で表す
凸
f(x)-mx-n=0
がx=αで重解をもつ条件
(B)を式で表す
260-6610
(A)(B)かつ(B) ⇒ (A) を示す
(2) (1) の利用を考える
↓
f(x)-m(x-1)=0
が重解をもつ
解答
(1) P(a, f(a)) における接線の方程式は
y=f'(a)(x-a)+f(a) ‥. y=f'(a)x+f(a)-af'(a)
⇒ 「g(a)=0 かつ g'(a)=0」
であるから, (A) ← (B)であることを示す.
(A) (B)であること (B)は(A)の必要条件) :
期間g(x)=f(x)πf' (a){f (a) - af'(a)} とおくと
OBIL
であるから
9106 (
「y=mx+nがPにおけるCの接線である」 #3 (c)-(x)\-(.......A)
⇒ 「m=f'(a) かつ n= f(a) -af'(a)」
HOUS
一方,g(x)=f(x)-mx-n とおくと
「f(x)-mx-n=0 が x =α となる重解をもつ」
...... (B)
x=1&S Cae
第6章
史B 日本
大
2
