重要 例題 24
図形に関する漸化式と極限
R1
図のような1辺の長さαの正三角形ABCにおいて, 頂点 CA
Aから辺BCに下ろした垂線の足を とする。 P, から辺
ABに下ろした垂線の足を Q1, Q1 から辺CAへの垂線の
足を R1, R1 から辺BCへの垂線の足をP2 とする。 このよ
うな操作を繰り返すと, 辺BC上に点P1, P2, ......, Pn,
h
が定まる。このとき, Pn が近づいていく点を求めよ。
MOITLE
B
P1 P2
C
2章
基本 19. 数学 B 基本 36
3
CHART & SOLUTION
図形と極限 番目と (n+1) 番目の関係を調べて漸化式を作る
)
BP=xm として, BP1 (すなわち X+1) を X で表す。 直角三角形の辺の比を利用して進
める。
3D
数列の極限
解答
である。
BP=xn とする。
すべての
BQn=BP
=1/2BP=1/2x ARn=
AR,1/12AQ=1/2(4-1/2)
CRn=CA-ARn=a-
1a
-Xn
1
a
-Xn,
CPCR.-(+)-+
=
=
2
2
=
4 8
3
BP+1=BC-CP+1-a-(+ 1/1 x n ) = 1 / a − 1/1 x n
n+
-a
4 8
- x n X T F
xn
0-2
A
xn
a 1
xnl
+
2
4
xn] [2] [1xuiQm
2:0
B
Xn
JR
P/P+1
a-(a)
xn-ti
4
そのままでもOK.
1
13
2
2
ゆえに
Xn+1=
xn+
変形すると
Xn+1
=-
8
04
a
Xn
3
よって、数列{ x /12/24}は初項 x 1/34,
2
-BR==
a
3a
a,
a=
2
公比
E-1の等比数列であり
Xn
8
3
n-1
ga 8
1/4+24 の解は α = 1/24
xn-a=(-1) ( x − a)
xn-
3
=
2
n-1/
ゆえに
xn=
(12/12)(3)+3/31 よって
-
-a+
X1
n→∞
= ga
したがって, Pnが近づいていく点は辺BC を2:1に内分する点である。
-a
ma
limx=2大
mil (S)
子点と
