基本 例題 94 2次関数の決定
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2次関数のグラフが次の条件を満たすとき, その2次関数を求めよ。
(1)頂点がx軸上にあって, 2点 (0, 4), ( - 4,36) を通る。
( (2) 放物線y=2x2 を平行移動したもので,点 (2,4) を通り,頂点が直線
y=2x-4上にある。
指針 (1),(2) ともに頂点が関係するから、頂点のx座標をとおいて,
基本形 y=a(xb)+α
(1) 頂点がx軸上にあるから g=0
からスタートする。
(2)平行移動によってx2の係数は不変。 したがって, a=2である。
また、頂点(b,g)が直線 y=2x-4上にあるから g=2ヵ-4
(1) 頂点がx軸上にあるから, 求める 2次関数は
頂点の座標は (p, 0)
解答
y=a(x-p)²
と表される。
......
このグラフが2点 (0, 4), (-4,36) を通るから
ap²=4
*
S (1)
①, a(p+4)²=36 ②
① ×9 と ② から
lap=ap+4)2
α≠0 であるから 9p2=(p+4)2
整理して
よって (p+1)(2)=0
-p-2=0
これを解いて p=-1,2
①から p=1のとき a=4, p=2のとき α=1
したがって y=4(x+1), y=(x-2)2
(y=4x2+8x+4, y=x2-4x+4でもよい)
(2)放物線y=2x2を平行移動したもので,頂点が直線
y=2x-4上にあるから,頂点の座標を(p2p4) とす
ると, 求める2次関数は
4(-4-p)²=(p+4)²
① × 9 から 9ap^=36
これとa (p+4)=36か
5 9ap²=a(p+4)²
α≠0 であるからこの
両辺をαで割って
9p²=(p+4)²
右辺を展開して
9p=p2+8p+16
整理すると
p²-p-2=0
y=2(x-p)'+2p-4
とされる。
******
①
このグラフが点 (24) を通るから
2(2-p)²+2p-4=4
y-2-
整理して p2-3p=0
よって
p=0,3
2
p=0 のとき, ①から
y=2x2-4
p=3のとき, ①から
y=2(x-3)'+2
(y=2x-12x+20 でもよい
y=2x2-4
0
/23
y=2(x-3)2+2
