B1-58
(486) 第8章 数
例題 B1.34 漸化式 an+1=pan+r" (p≠1)
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a=1, a,+1=3a,+2" で定義される数列{an}の一般項an を求めよ、
考え方 an+1=pan+f(n) f(n)=r" の場合の漸化式である
このように表されている数列{a} の一般項は,「両辺を
n+1
pantr
で割って特性方
(p=1
「いる」方法, または 「両辺を"+1で割って階差数列を利用する」方法で求められる
解答 -1am+1=3a+2" の両辺を2"+1で割ると,
an
2"+1 22"
b=1212.6.1=2300+1/12より、
bn
2"+1=2.2
b₁=
2
3
a=
29.
an+1
+
13.01.12 ここで,b=
とおくと
①
bm+1+1=1232 (60,+1)
3
したがって、数列{b,+1}は、初項b,+1=2/2
3
公比
の等比数列であるから,
より, a=-1
3/3-1
(3\n
bm+1=
より,
bn
=
・1
式より求める。
{b x} の一般項を漸化
2 2,
よって、 ①より
an=2"b,=2"{(23)-1}=3"-2"
(
2"X
2×12=2x272
=3"
An+1
an
3n+1
解答 -2+1=3a+2" の両辺を3"+1で割ると,
2"
3+1 = 3 + 2 (3)"
-+-+3(3)
2/2
n-1
9
この式は、数列{4}の階差数列が初項 40 公比21/3の
2
an+1
an
9'
等比数列であることを示している
n≧2 のとき,
mmm
2
n-1
an
3" 3¹
+Σ
a1 n_12/2\k-1
1
9
=
+
k=1
3
2
1 2
n
=
+
3 3
したがって, an=3"-2"
3
n=1のとき, a=3′-2′=1となり成り立つ .
m
よって、
an=3"-2"
3n+13″93
{a}の階差数列{b
n≧2 のとき
M
an=a+b
k=1
3”×
(
2\"
=2"
n=1のときを確認する。
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