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f(x)=x-xとし、関数y=f(x)のグラフを曲線C とする。 点 (u, v) を通る曲
演習 例題224 3本の接線が引けるための条件 (2)
[類 鹿児島大]
基本 219, 演習 223
|線の接線が3本存在するためのu, vの満たすべき条件を求めよ。 また、その
条件を満たす点(u, v) の存在範囲を図示せよ。
指針 前ページの演習例題223と考え方は同様である。
① 曲線C上の点 (t, f(t)) における接線の方程式を求める。
2
① で求めた接線が,点 (u, v) を通ることから,t の3次方程式を導く。
③② の3次方程式が異なる3個の実数解をもつ条件を, u, vの式で表す。
解答
f'(x)=3x2-1であるから, 曲線C上の点の座標を(t, f(t))
とすると,接線の方程式は
すなわち
y-(t³-t)=(3t²-1)(x−t)
y=(3t2-1)x-2t3
v=(3t²-1)u—2t³
この接線が点 (u, v) を通るとすると
よって
2t3-3ut2+u+v=0
(1)
3次関数のグラフでは、 接点が異なれば接線も異なる前ページの検討 参照。
ゆえに,点(u, v) を通るCの接線が3本存在するための条件
は,t の3次方程式 ① が異なる3個の実数解をもつことである。
よって, g(t)=2t3-3ut'+u+vとすると, g(t) は極値をもち,
極大値と極小値が異符号となる。
g'(t)=6t²-6ut=6t(t-u) であるから
u0 かつg(0)g(x)<0
g(0)g(u) < 0 から (u+v)(-u³+u+v) <0
(2)
②でu=0 とすると20となり,これを満たす実数 vは存在
しない。ゆえに,条件u≠0 は ② に含まれるから、求める条件
は ② である。
[u+v>0
②から
よって
-u³+u+v<0
u+v<0
=u³+u+v>0
[v>_u
\v<u²³-u
......
または
<-u
または
[v>u³_u
したがって,点 (u, v) の存在範囲は
右の図の斜線部分。 境界線を含まない。
✓3 0
3
2√3
9
2√3
9
(02/0₂
√3
3
◄y-f(t)=f'(t)(x−t)
1125
I
p.337 の例題219 参照。
g' (t)=0 とすると
t=0, u
u=0のとき, t=0,uの
うち一方で極大,他方で極
小となる。
v=uuのとき
v=3u²-1
0 とすると
√√3
3
u=±
√3
u=±
03
のとき
LES & HI
(複号同順)
= 2√3
9
直線v=-uは曲線Cの
原点Oにおける接線。
