重要 例題28 外心の位置ベクトル
【類早稲田大)
基本 25
ACを用いて表せ。
A
M
指針> 三角形の外心は, 各辺の垂直二等分線の交点であるから,右図の
ABIMO, ACINO
AABCの外心0に対して
これをベクトルの条件に直すと
よって,A0=sAB+tAC としてAB·-MO=0, AC·NO=0 から,
S, tの値を求める。
ABIMO, ACINO
B
解答
辺 AB, 辺 AC の中点をそれぞれ M, N とする。
ただし,△ABCは直角三角形ではないから, 2点 M, N はと
最大辺は BC であり
BC°キAB?+AC?
もに点0とは一致しない。
点0は△ABCの外心であるから
ABIMO, ACINO
AB·MO=0, AC·NO=0
AO=sAB+tAC (s, tは実数) とすると, AB·MO=0 から
(*) 直角三角形の外心0
(外接円の中心)は, 斜辺の中
点と一致する。
ゆえに
AB-(AO-AM)==0
AB-|(--})AB+AC}=0
0
131
S
また, AC-NO=0から
AC-(A6-AN)=0
ゆえに AC-A日+(1-号)A0
NC
2
A T YOX
BCP=|AC-ABP=IACP-2AB·AC+|ABP
6°=5°-2AB·AC+4°
ここで
よって
とすると
5
AB-AC=
2
ゆえに
よって, ①から(s-号)×や+tx3-0
2
すなわち
32s+5t=16
JaV(4-)
+tAB·AC=0
また,②から
×+1-)×5-0
ASAB-AC
すなわち
s+10t=5
の
%3D0
3
3, の から
16
t=
35
0=jOV(3-)
S=
したがって
A0=-AB+
16
-AC
35
