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基本例題 111 倍数の判定法
(1) 5桁の自然数 2576 が8の倍数であるとき, □に入る数をすべて求めよ。 |
(2) 11の倍数については, 次の判定法が知られている。30
「偶数桁目の数の和」 と 「奇数桁目の数の和」 の差が11の倍数
30
このことを, 6桁の自然数Nについて証明せよ。
解答
指針 (1) 例えば,8の倍数である4376は, 4376=4000+376=4・1000+8・47 と表される。
10008･125は8の倍数であるから, 8の倍数であることを判定するには,下3桁が
8の倍数であるかどうかに注目する (ただし, 000 の場合は0とみなす)。
(2) N=Ak+Bのとき, Nが4の倍数ならば、はAの倍数 (文字は整数)
Nを11k+Bの形で表したとき, B が 11 の倍数であることから証明できそう。解答
このように, 10の累乗数を11の倍数±1の形で表しながら, 変形していくとよい。
(1) □に入る数をa (aは整数, 0≦a≦9) とする。
下3桁が8の倍数であるとき, 2576は8の倍数となる
から 700 +10a+6=706+10a=8(α+88)+2a+1706=888+2
2(a+1) は8の倍数となるから, a +1は4の倍数。
よって
α+1=4, 8 すなわち α = 3,7
したがって、□に入る数は
3, 7
(2) N=10α+10+10°c +10°d + 10e+ f とすると
N=(100001−1)a+ (9999+1)+(1001-1)c OF OF
da
+(99+1)d+(11-1)e+f
p.516 基本事項
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よって, N11の倍数であるのは、 偶数桁目の数の和
a+c+eと,奇数桁目の数の和b+d+f の差が11の倍
M
数のときである。
0≦a≦9のとき
1≦a+1≦10
=11(9091a+9096+91c+9d+e)080S
+(b+d+f)-(a+c+e) 8土 A S± ±=A
1001=7・11･13
は記憶しておくとよい｡
-a+b-c+d-e+f
を問題に合うように変形
した。
