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数学 大学生・専門学校生・社会人

すごく当たり前のことを聞いていたらすみません。黒い線で囲まれた部分の赤とピンクの蛍光色の部分がわかりません。方冪の定理でなぜOX•OA=OY•ODが示されると接線の長さが等しいのでしょうか。

を意味する. 良問 【基礎 0.3.9】 (1995TOT 秋 JO 間4) 三角形 ABC の LA の二等分線と辺BCの交点を M とし, LA の外角の二等分線と直線BC の交点を N とする. また, 三角形 ABCの外接円の点Aにお ける接線と 直線BC の交点を K とする. このとき MK =KN を証明せよ。 B db A M /CK となり, MK AK が得られる. また, LCAN = LNAD より a D N 解答図のように,線分 BA のAの方向への延長上 に点Dを取る. 接弦定理より LCAK = LABM で ある. LBAM=LMAC より LKMA= LBAM + LABM =外角 = LMAC + LCAK = LKAM LKNA + LABM = LNAD = LCAN =LKAN+LCAK ba b であるので, LABM=LCAK 各辺から引いて LKNA = LKAN が得られる. したがって AK = KN である. これと MK = AK より MK =KN がわかる. 0 0 注 Kは直角三角形 AMN の斜辺の中点で, その 外心である. 【基礎 0.3.10】 (1995TOT 春 SA 問3) 台形の互いに平行でない2辺を直径とするふたつの 円を考える. 台形の対角線の交点がこのふたつの円 の外にあるとき、 対角線の交点からふたつの円に引 いた4本の接線の接点までの線分の長さは、 すべて 等しいことを証明せよ. 解答 AD // BC である台形 ABCD の 対角線の交 点をOとする. また AB を直径とする円と直線 AC の A 以外の交点を X とし, CD を直径とする 円 T2 が BD と交わる D以外の点を Y とする. 同じ円に対する2本の接線の長さは等しいの で, 0 から T1, T2 に引いた接線の長さが等しい ことを示せばよい。それには、方の定理から。 OX-OAOY・OD を示せばよい。 三角形 AOD と COB は相似であるから, OC OB である. また三角形 OBX と三角形 OCY は相似である。 (なぜなら LXOB = LYOC, LOXB = LOYC = OC OY であり、ゆえに OB OX つまり OX-OA = OYOD となり 0 90° である) よって = OA OY OD OX' 証明が完了した。 B A AS OA OD D C ●アポロニウスの円 2定点A,B までの距離の比が一定値k (≠1) で ある点Pの軌跡は CD を直径とする円である. こ こで C, D は直線AB上にあり、符号付き長さで AC:CB=AD: DB を満たす2点である. このC. DをA,Bの調和共役点と呼ぶ.

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数学 高校生

2次方程式について質問です! (2)の「任意の実数」ってどういう意味ですか? 教えて下さい🙇

不等式がすべての実数に対して成り立つ条件 (絶対不等式) 基本例題 109 P.159 基本事項6 演習125 1 ② すべての実数xに対して、2次不等式x+(k+3)xk>が成り立つような 定数kの値の範囲を求めよ。 (2) 任意の実数xに対して、 不等式 ax²-2√3x+a+2≦0が成り立つような定 数αの値の範囲を求めよ。 指針 2次式の定符号 a≠0. D=b-4ac とする。 ….. #ax²+bx+c>0⇒a>0, D<0 常にax²+bx+c<0 a<0, D<0 (1)x2の係数は1 (正) であるから, D<0が条件。 (2) 単に「不等式」とあるから, q=0(2次不等式で ない)の場合とα≠ 0 の場合に分ける。 #kax²+bx+c²0⇒a>0, D≤0 常に ax²+bx+c≦0⇔a<0. D≦0 2 解答 (1) ²の係数が1で正であるから、常に不等式が成り立「すべての実数x」または「任意の実 ための必要十分条件は、 係数について 数x」 に対して不等式が成り立つと (k+3)²-4-1-(-k) <0 よって (k+9)(k+1)<0 ゆえに k+10k +9 < 0 ゆえに-9<k<-1 その不等式の解がすべての実 数であるということ。 (2) a=0のとき, 不等式は-2√3x+2≦0 となり、 例え ばx=0のとき成り立たない。 a=0のとき, ax²-2√3x+a+2=0の判別式をDとす ると、常に不等式が成り立つための必要十分条件は a < 0 かつ D/4=(-√3)²-α(a+2)≦0 a< 0 かつ ²+2a-3≧0 (a+3)(a-1)≥0 すなわち ²+2a-3≧0から よって a-3, 1a α<0 との共通範囲を求めて a≤-3 [a>0, D<0] [a<0, D<0] (1) の D<0は、下に凸の放物線が常 にx軸より上側にある条件と同じ。 -2√3x+2≦0の解はx≧ x² = 7/333 グラフがx軸に接する. またはx 軸より下側にある条件と同じであ るから、40ではなく10と D する。 167 2章 13 2次不等式

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