-
![]()
388
(2) 切り口を考えたいが, 立体Bはイメージしにくいから
立体Aを「z軸のまわりに回転させる」→それを「平面 z=tで切る」
見方を変える
例題 21.
xyz 空間において,D={(x, y, z1≦x≦2,1≦y ≦ 2, z = 0 } で表
された図形をx軸のまわりに1回転させてできる立体をAとする。
(1) 立体 A の体積VA を求めよ。
(2) 立体Aを軸のまわりに1回転させてできる立体Bの体積VB を求
めよ。
(名古屋大 改)
ReAction 回転体の体積は、回転軸に垂直な切り口の円を考えよ 例題199
切り口の図形Eは図1の長方形 PQRS となる。
平面 z = t と軸の交点をH, 線分PSの中点をM
とすると
ゆえに
PH = √PM2+MH=√8-1
S(t) = PH-π・12
=(√8-12)² -=(7-12)
S
1
点Hから最も遠い点は
P, 点Hから最も近い点
はNであるから
S(t) = (半径PH の円)
(半径NHの円)
PM=√22-2
特講
(1) t1のとき
図1' 平面 z=t における図
図2′ 平面 x=2 における図
Q
P
12
St
P
R
S'
+M
z=tr
イメージしにくい。
M
HN
x
R
-21-
0
立体A を「平面 z = t で切る」→それを「2軸のまわりに回転させる」
AP
H
12y
P.S.
-1
イメージしやすい。
場合に分ける
21
HACS (2
(ア)断面が長方形1個 (イ) 断面が長方形 2個
切り口の図形Eは図1' の
tの値によって,
z=t
2つの合同な長方形 PQRS,
断面の形が異なる。
H•
P'Q'R'S′ となる。
N
H
x
線分 PP′, QQ' の中点を M,
Q'
RR
0
0
z=to
N とすると
-2-1
図3′ 平面 x=1 における図点Hから最も遠い点は
0 12 y
P. 点Hから最も近い点
はRであるから
S(t) (半径PH の円)
(半径RHの円)
y
22120) 03-12-09
PHPM² + MH²
PM=√22-12
√√8-12
02
4章14 体積・長さ,微分方程式
Action» 切る平面によって断面の形が変わるときは,図を分けて考えよ
-
RH = √
(1) 立体 A は,底面の半径が2で高
さ1の直円柱から, 底面の半径が
1で高さが1の直円柱をくり抜い
た立体である。
y
y
D
2
2
1
1
02
よって, その体積は
O
0
1 2
VA=2°z.1-12.1 = 3π
√RN²+NH²
√2-12
RN=√1-2
ゆえに
(2) 立体Aを軸に垂直な平面 z=tで切ったときの,
切り口の図形をEとし,図形Eをz軸のまわりに1回
転させてできる図形の面積を S(t) とする。
立体Bはxy 平面に関し
対称である。
no
(ア)1st ≦ 2
図1 平面 z=t における図
図2 平面 x=2における図
2
H・
P
S
IM P
St
z=t,
2
t
2
0
HN M x
-2-1 0 1
12y
S
2
S(t)=PH-RH 2
= (√8–1²)² -π(√2–1²)² = 6
(ア)(イ)より、求める立体Bの体積は
VB
=S(t)dt = 2*S(t)dt
-26x dt + (7--
=2
=2 S
66
立体Bはxy 平面に関し
て対称である。
64
3
212 空間内の平面 x = 0, x=1, y=0, y=1, z=0, z=1 によって囲まれた
立方体をP とおく。Pをx軸のまわりに1回転させてできる立体を Px, P
軸のまわりに1回転させてできる立体をP,とし,さらにPx と Pyの少
なくとも一方に属する点全体でできる立体をQとする。
Jano1
(1)Qと平面 z=t が交わっているとする。 このときPx を平面 z=t で切っ
たときの切り口を Rx とし,Py を平面 z = t で切ったときの切り口を R,
とする。Rx の面積,Ry の面積, R. と Ryの共通部分の面積をそれぞれ求
めよ。 さらに, Q を平面 z = tで切ったときの切り口の面積S(t) を求めよ。
(2)の体積を求めよ。
(富山大)
38
p.403 問題212
