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練習問 題 U6 階差数列, 和が与えられた数列
2つの数列 {an}, {b»} がある。数列 {a,}の初項は 36であり, その階差数列 {am+1 -an}は, 初項72, 公比3の等比数列であ
る。また,数列{bm}の初項から第n項までの和 S, は, S, = 3n° + 2n+1 で表される。
(1) 数列{a}の一般項をnの式で表すと, an =
n-
ア
である。
キ
)}である。
ク
1
また,T, = 2-とすると, T, =
カ
エオ
であり,n22 のとき bn =
k=1 Qk
サ
である。
(2) 数列{b,}の初項は b, =
ケ
コ
n-
また,n22 のとき Un = 2(b,)°とすると, U, = [シス]+[セソ]n° +n+[タチ」である。
k=1
解答
(1) 数列 {an}の階差数列 {an+1 -an}が初項72, 公比3の等比数列であ
るから,階差数列の一般項は
よって, n>2のとき
72.37-1
* 数列 {a,}の階差数列が {6,}の
0a0ar
とき
Key 1
an = ai+72.34-1
k=1
an = a,+2b, (n2)
=1
72(3*-1-1)
= 36 +
3-1
= 36·37-1=4·3"+1
数列 {an}は初項36, 公比3の
等比数列である。
4.37+1 に n =1 を代入すると 4.3° = 36 となり, a= 36 と一致す
る。
よって
an =4.37+1
00
k-1
1
1
()等- --8 -
,公比
1
11
また
80a
36·3*-1
36(3
ak
1
一般に,数列 {an} が
初項a(キ 0), 公比r(キ0)
の等比数列であるとき, 数列
公比一
よって,数列-ーは,初項
の等比数列である。
an
36
1
1-
36
1
S1
1
の
T。
は、初項
したがって
三
24
k=1 Qk
1-
an
a
等比数列である。
Key 2(2)(ア) n=1 のとき
(イ) n22 のとき
b,= S, = 3+2+1=6
8008
bn = S,- Sn-1
= 3n°+ 2n +1- {3(n-1)°+2(n-1)+1}
6n-1に n=1 を代入すると
6·1-1=5
= 6n-1
次に,n22 のとき
となり,6,=6 と一致しない。
U, = 2(6) = (b)+2(b)
k=1
k=
= 36+ 2(6k -1)
k=2
2
= 36 +
k=1
362-122k+21+11
k=1
k=1
(ST-0
1
= 36·-n(n+1)(2n+1)-12.(n+1)+n+11
= 12n°+12n°+n+11
13 1-?1-3
