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存在せず
必要条件
求める。
に、式を変
牛。
条件である
-a-l
( 極限値)=
なα, bのも
ら
-fla
で、
きロー!
じものにする
基本例題191 導関数の計算 (1) ... 定義, (x")'=nx-1
次の関数を微分せよ。 ただし, (1) (2) は導関数の定義に従って微分せよ。
(1+xS)
1
0のとき
といって
しては
(1)y=x2+4x
(3)_y=4x³—x²-3x+5
解答
指針 (1), (2) 導関数の定義 f'(x)=limf(x+h) f(x)
h
IJNS0
-
(3) (4)次の公式や性質を使って, 導関数を求める。 (n は正の整数,k,lは定数)
(r")=nx"-1
特に (定数)' = 0
{kf(x)+lg(x)}'=kf'(x)+lg'(x)
(1)y'=lim-
h→0
=lim
=lim
h→0
{(x+h)²+4(x+h)}-(x2+4x)
h
1
x+h
→08305+
(x+h)2-x2+4(x+h)-4x
h
=2x+4
y'=lim
2hx+h²+4h
1
h=lim(2x+h+4)
x-(x+h).
(x+h)x
-h
1
h-ol (x+h)x h
SxO+SI-
=lim
(2)
b=-2
-1
条件である。 (3) y'=(4x-x-3x+5)、=4(x)(x²)、-3(x)+(5)、
h→0 (x+h)x
となり、上の結果と一致する。
y=
© 191 (1) y=x²-3x+1
(3)
(4)y=-3x+2x3-5x²+7
(8+xs) (e+xs-x)=x
-h
(x+h)x
+₁-1=
11.01+2とも
=4・3x²-2x-3・1=12x²-2x-3)(1)g=11
(4) y'=(-3x+2x3-5x²+7)'=-3(x*)'+2(x²)、-5(x²)+(7)、
=-3.4x3+2・3x²-5・2x=-12x+6x²-10x
11r³+5r²-2x+1
であるから
1
を利用して計算。
1
x²
p.296 基本事項 ③~5
f(x)=x2+4xとすると
f(x+h)
=(x+h)2+4(x+h)
項をうまく組み合わせて,
分子を計算する。
FON
導関数の定義式の分子
f(x+h)-f(x)
を先に計算している。
検討x”の微分についての指数の拡張
STE
p.296 基本事項 ④ において、(x)=x(nは正の整数)とあるが,nは正の整数に限らず,
負の整数や有理数であっても、この公式は成り立つ (詳しくは数学Ⅲで学習する)。
例えば、上の例題 (2) については, n=-1として, 公式(x")'=nx-1 を用いると
( ¹² ) = (x-¹) = − 1 ·x¯-¹-¹=-x^²=-
<{kf(x)+lg(x)}、
=kf'(x)+lg'(x)
<(r")=nx"-1
(定数)' = 0
練習次の関数を微分せよ。 ただし, (1), (2) は導関数の定義に従って微分せよ。
(2) y=√x
(4) y=2x^-3x+7:0-9
(8)
301
6章
34
微分係数と導関数
