この問題の(2)の式の展開がよくわかりません。画像二枚目の上から4行目〜5行目はどのように展開しているのでしょうか。

Level 25 2011年度 理系〔1〕 i=√-1 とする。 以下の間に答えよ。 (1)実数α, β について, 等式 (cosa + isina) (cosβ+isinβ) = cos (u+B) +isin (a+ß) が成り立つことを示せ。 (2) 自然数nに対して n (cos z= cos k=1 とおくとき,等式 2πk n 2k +isin 2ヶ月) (cos 2x + i sin 27)-z Z — n が成り立つことを示せ。 n (3) 2以上の自然数nについて, 等式 n 2k n 2лk Σ cos = Σ sin =0 k=1 n k=1 n が成り立つことを示せ 83015 (E)(1+ h S

高一三角関数　青の部分を教えてください！

(2) cos (α-ß) = card couß + sind sinß = ++ 2 (1) O<< より codo であるから cusd=√1- and = √1- (}}) = 3 また<B</2/2よりminB<Oであるから sim p = −√1-000² 3 = −√1-(-³)² = — — (3) よって Avin (dtβ)= Mind 000βt cood aim β = - (3)+3(3) 24 25 0 < x < 1/10 <<<<2/2より3-(+ 11 (2)より c00(d-p)=1であるからd-f=π圏 ここが分かりません! Bri

こういう問題は下線部のところの分母分子はどっちでもいいですか？計算しやすい方を分母にしてもいいんですか？

194 a=3+2i, β=6-i, Y=c+6i, ô=d-Ai とする。 (1)3点A, B, C が一直線上にあるとき, r-a ß-a E が実数となる。 T-a (c+6i) - (3+2i) c-3+4i = = B-a (6-i)-(3+2i) 3(1-i) 土 (c-3+4i) (1+i) c -7+ (c + 1)i = 3(1-i)(1+i) 6 これが実数であるから c+1=0 よって c=-1 SVS=T (2)(1) r=-1+6żSP= 2直線 BC, BD が垂直に交わるとき, d 8-ß が T-B ne 純虚数となる。 8-ß (d-4i)-(6-i) d-6-3i = = T-B (-1+6i)-(6-i) 7(-1+i) (d-6-3i)-1-i) 1+1= I= = 7−1+i)(−1−i) 3-d+(9-d)i 14 これが純虚数であるからA

入試問題の過去問で解き方が全くわかりません… (1)(2)わかる方教えていただきたいです😭

を定数として3次方程式 23- 2 R-6.x-k=0.....(*) を考える. (1)この方程式が, 異なる3つの実数解をもつようなんの値の範囲を求めよ. (2)(1) で求めた範囲にあるとき, 方程式 (*)の3つの解をα, B, r (ただしα<B<y) とおく. (a)が(1)で求めた範囲を動くとき, α, β, yの取りうる値の範囲をそれぞれ 求めよ. (b)が(1)で求めた範囲を動くとき, αとyの積αyが最小となるkの値と, αy の最小値を求めよ. 入試基礎数学 No. 7. ( 東京理科大)

赤線のところがどうしてなのかわかりません。

空間ベクトル となるから LQ=2 -a + a a =2LM+LK と表せ Polo = -s+t-5\ S 2t+2 が,a= -1 LR=20 a -21 0 a=2LM+2LK |LO= -(-2)+2(9) a a =LM+2LK (2) LM-LK=d', |LM| LM･LK a² 1 2 cos 0=- 0= TC |LM||LK| 2a 2 |LK=√2a だから, 0= ∠MLK とすると 106 直線1: (x, y, z) = (5,0,0)+s(1, -1, 0) 上に点Po. 直線m: (x, y, z=0.02)+t(1, 0, 2)上に点Qがあり, PoQ はベクトル (1,1,0)と (102) の両方に垂直である. 次の問いに答えよ. (1) Po, Q の座標を求めよ. av 6=10 2 のいずれにも垂直であることより |d・PQ=(-s+t-5)-s=-2s+t-5=0 PoQo = (-st-5)+2(2t+2)=-s+5t-1=0 8 : s =- t= 3' よって、 Po, Q の座標は 8 Po(30). Q(0.4) (2) (1)より, PoQo 2 4 -2 であるから 3 | PoQo] ==—-—=√(−2)²+(−2)²+1²=4 3 PQ=PP+PQ+QQ PPo, QoQ はいずれも PQ に垂直であるから PP・PoQ = 0, QQPQ0 ① したがって (金沢大) (2)より ①より よって |PQ|=|(PP+QQ)+PQ012 =|PP+QQ|2+2(PP+QQ) PQ + |PQ|2 |PQ012=16 (PP+QQ)・PQ=PP・PQo+QoQPQ0 = 0 |PQ|=|PP+QQ|2+16 □ (2) PQo| を求めよ. (3) 直線上の点P,直線上の点Qについて, PQ を PPo, PoQoQoQ で表せ. また, [PQ|=|PP+QQ12+16であることを示せ. 思考のひもとき 1. 点 (α, β, y) を通り, ベクトル (a, b, c) に平行な直線は x a y B a +t b ( tは実数 ) 0-0-0 C (x,y,z) 2直線の位置関係は 「(α, B,γ) と表せる. (a, b, c) をこの直線の方向ベクトルという. (0,0,0) 解答 (1)1, m上の点Po, Qo は Po(5+s, -s, 0), Q(t, 0, 2+2t) (i) 交わる (i) 平行 (Ⅲ) ねじれ P. m Q 286

(3)どうしてマーカー部分の式になるのか分かりません

336 多項式P(x) を (x-1)で割ったときの余りが4x-5で, x+2で割ったときの余りが4 ある。 (1) P(x) をx-1で割ったときの余りを求めよ。 P()を(火)で割ったときの商をQix)とする。 P(x)=(x+1)(x-1)Q1x)+4x-5 P1=4-5=-1 [類 山形大 ] (2) P(x) を (x-1)(x+2) で割ったときの余りを求めよ。 P)を商をQ2(x)、あまりをax+bとする。 (2)=(x-1)(x+2)Q2(x)+ax+b. 911)=a+b=-1. Pr2)=-2a+b=-4 これを解いて、 したがって、 x-2 a=1,b=-2 (3) P(x)(x-1)(x+2)で割ったときの余りを求めよ。 77

Q.　中二理科 誘導電流 発展 (2)で結局なぜ交流が答えなのかわかりません。

べて選びなさい。 α線,β線, 線, X線などをまとめて何というか ~Dからす 確認 2 練習 3 要点 直流と交流 5 本国 p.86~87 p.202~208 2つの発光ダイオードを, 向きを逆に 図1 して並列につないだものに, コンセントと乾 電池の電流をそれぞれ流して左右にすばやく 動かしたところ, 図1のようになった。 □(1) 乾電池からの電流を装置に流したときの ようすは図1のアイのどちらか。 ア イ を 記述仁図2のように、電磁調理器に電 図2 理科 流を流すと, コイルに電流が流れて磁界が が発生し、その磁界によって鍋に誘導電流が 流れて発熱する。 このことから, 電磁調理 器に流す電流は直流・交流のどちらである 必要があるか。また,そう考えた理由を「磁界」の語を使って,解 鉄鍋 誘導電流 誘導電流 5 (1) ア (1)ア 12点-各4点 (2) 電流 交流 理由 鍋に誘導電流が 思 流れて発熱する コイルのまわりの 磁界を変化させ コイル る必要があるから。 磁界の向き 答欄の書き出しに続けて簡単に書きなさい。 91

解と係数の関係の問題です。緑の線が引いてあるところまではわかるのですがその後にx=○(数字)をなぜ代入しているのかが分からないので解説お願いします。

例題 12 2次方程式 (x-1)(x-2)+(x-2)(x-3)+(x-3)(x-1)=0 の2つ の解をα,β とするとき, 次の式の値を求めよ。 (1)(2-α) (2-β) (2) aβ 等式 ax2+bx+c=a(x-a)(x-β) の両辺に x=p を代入すると, (ｶーα)(カーB) の値が求められる。 x2 の係数を忘れないように注意する。 指針 解答 この2次方程式のx2の係数は3であるから, 次の等式が成り立つ。 (x-1)(x-2)+(x-2)(x-3)+(x-3)(x-1)=3(x-a)(x-B) ① (1) ①の両辺に x=2 を代入すると (2-3)(2-1)=3(2-α) (2-β) よって (2-a) (2-B)=-11 (2) ①の両辺に x=0 を代入すると (−1)(-2)+(-2)(-3)+(-3)(−1)=3(-a) (-β) 11 よって 11=3aß ゆえに aβ= 3

ここの問題のtが出てくるところから，何故急にtが出てくるのかが分かりません，教えてください

重要 例 (x+y, xy) の動く領域 20 0000 実数x,yx2+y2≦1 を満たしながら変わるとき, 点(x+y, xy) の動く領域 | を図示せよ。 指針 x+y=X, xy=Yとおいて, X, Yの関係式を導けばよい。 ①条件式x2+y≦1 を X,Yで表す。 →x2+y2=(x+y)²-2xy を使うと しかし、これだけでは誤り! DET X2-2Y≦1 ② x, y が実数として保証されるような X, Yの条件を求める → x, 重要 129 x, yは2次方程式2-(x+y)t+xy=0 すなわち 2-Xt+Y=0 の2つの解で あるから,その実数条件として 判別式 D=X2-4Y0 ① 実数条件に注意 X=x+y, Y =xy とおく。 解答 x+y=1から (x+y)²-2xy≦1 すなわち X2-2Y≦1 X2 したがって Y≥ ...... ① ると ここで また,x,yは2次方程式2-(x+y)t+xy=0 すなわち2数α,Bに対して -Xt+Y=0の2つの実数解であるから, 判別式をDとす D≧0 D=(-X)-4・1・Y=X2-4Y p=α+B,g=aβ とすると,α,Bを 解とする2次方程 よって,X2-4Y0からでき 式の1つは x-px+g=0 ya 1 4 y= 2 2 2 AST X2 1 日本 ①②から 2 4 y= 24 検討 変数を x, yにおき換えて 11/2² - 1/1 Sy ≤ 11214 - 2 4 したがって、求める領域は、右の図の 斜線部分。ただし、境界線を含む。 実数条件(上の指針の)が必要な理由 -√2 1-2 12 0 √2 x x2 2 1/2とす 4 x+y=X, xy=Yが実数であったとしても, それが x2 +y'≦1 を満たす虚数x,yに対応し 1/12/+/12/i.y=1/2-2/21のときx+y=1 (実 たX, Yの値という可能性がある。 例えば, x=- 数), xy= 2, (実数) で, x2+y'≦1 を満たすがx, yは虚数である。 このような(x, y) を 除外するために 実数条件を考えているのである。

次の問題で青い線はどの様にして出しているのでしょうか？解説お願いします🙇‍♂️

思考プロセス t>0 とする。 放物線 C:y=x2 上の点P(t, t2) における法線を1とする。 法線と放物線 C で囲まれる部分の面積Sの最小値とそのときのtの値を 求めよ。 Thm.3(3次関数) ⑥ y = ax+b+c+d 6 法線･･･ 点P を通り, 点PにおけるCの接線に垂直な直線。 面積Sは 公式の利用 の構図 ⑨3次関数 11 《QAction 放物線と直線で囲む面積は,S(x-a)(x-B)dx=-1/2(B-α)を用いよ IとCの共有点のx座標 α, βを求める。 ⇒ α, β のうち1つは点Pのx座標であることに注意する。 解 y = 2x より 法線lの方程式は 例題 244 Thm, 2 接線と放物線) ④l, y=ax+bxtCl2 S = la (B-x)³ 例題 208 1 y-t² = =- -(x-t) 2t 1 よって y = -x+t² +⋅ 2t 2 法線と放物線Cの共有点のx 座標は = x+ -12- 2t -t- 2t <S(t)) P O t x I 1点P(t, f(t)) における 法線の方程式は | y − f(t) = − -(x- -t) 1 f'(t) 2+1/x-(1+1/2)=0より 2t (x-1){x+ (x−t) { x + (1 + 2/1 ) } = 0 2t IとCは点Pで交わるか この方程式は x = t を解にもつ 1 よって x=t, -t- 2t 244 例題ゆえに S= {(· 1 -x+ t² + x² dx 2t = - L 1 ( x 例題 68 t- − t) { x + ( t + 2 ) } d 1 3 2t x 3 = 1½ { t − (− 1 − 2)}² = 1 ½ (21+ 2+ ) ³ t 2t 2t t0 であるから, 相加平均と相乗平均の関係より s= 2t+ 2t 2t 3 M 5 = 1½ (2² + 1 ) = 1 - (2√2 · 117 ) = 1/3 2/2t⚫ 6 1 これは 2t = すなわちt= 2t のとき等号成立。 2 したがって, Sは t =1のとき 最小値 L(x-a)(x-B)dx — — -(ẞ-a)³ ReAction 例題 68 k 「X+ (X> 0) の最小 X 値は, (相加平均) ≧ (相乗 平均) を利用せよ」