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例 179 曲線の凹凸とグラフ[2] ･・・無理関数
次の関数の増減値, グラフの凹凸, 変曲点を調べ、そのグラフをかけ。
(2) y = √x²(x+5)
(1) y=x+√4-2
上に凸と
<Action 曲線の凹凸 変曲点は,第2次導関数の符号を調べよ
段階的に考える
p.319 まとめ 14 概要の手順で考える。
yやy” が存在しない点がある関数の注意点
･･･そのxの値を増減凹凸の表に入れ, y'′ やy” の極限を考える。
□ (1) 定義域は 4x≧0より
y'=1-
y'=0とおくと
724,07(
ゆえに
変曲点はない。
また
*-(1-7) -
y" <0
-2 <x<2のとき
よって増減、凹凸は次の表のようになる。
X -2
√√√2
2
X
√4-x²
√2 のとき 大値2√2
lim y = ∞0
x = √2
5
=
y"
y -22√2
y=0 とおくと
10
-2≤x≤2
4-x²x6
√√4-x²
lim y'= -co
x-2-0
がって, グラフは右の図。
(2) 定義域は実数全体である。
y=x3(x+5) = x +5xより
10
3
x=-2
10
9
x=1
y" = 0 とおくと
+ 0
+
4
(4-x²)√4-x²
=
>0
2
2
5(x+2)
3³√ x
y
2√2
10(x-1)
94
0
2
√22 x
2
例題178)
(√の中) 20
チッパーX:0
√4-xよりx≧0
であり
4-x² = x²
2x² = 4
=2より
20であるから
x = √2
lim y = ∞ より
グラフは点 (-2,-2)で
直線x=-2に接する。
点 (2, 2) においても同様。
√√x²=x*
x=0 において, y' は存
在しない。
1x=0 において,yも存
在しない。
「よって増減、凹凸は次の表のようになる。
X
y
+
y
-2
0
(0)
2 0
なんで?
変曲点は (1,6)
ここで
limy = ∞, lim_ y = -00
lim y'= ∞, lim y'= -00
したがって, グラフは右の図。
***
+
1
+
0
34
ゆえに, x=2のとき 極大値394
x=0のとき
極小値0
6
+
+
Ĵ
y=√x²(x+5)
y4
Point (1) の関数の図形的な見方
例題179 (1) の関数y=x+√4-x... ① は,2つの関数
y=x･･･ ② と y=√4-x... ③
34,
の和である。 → 式を分ける
このことから、 次のように考えることができる。
(ア) グラフの概形
② のグラフは原点を通る傾き1の直線
③のグラフは原点中心, 半径2の円の上半分であるから,
①のグラフは右の図のような概形になると予測できる。
(イ) y'の符号
y'の符号は
これは、③
すなわち
1-1/201
x
の符号から考える。
y'の分子)=√4-xx
③ の方が上にある-2<x<√2ではy'>0
② の方が上にある√2<x<2では
y'<0
(34) 27×4108,
6216 より 3 4 <6
syはx=0の前後で負
| から正に変わるから.
x=0で極小値をもつ。
例題173 Point 参照。
(3) (2)
②のグラフの上下から考えることもできる。
|軸に接するようにかく。
グラフは原点Oでy
-2
2
3
2
①
10
y
2
A
2x
5章 関数の増減とグラフ
11
10 22 x
179 次の関数の増減, 極値, グラフの凹凸, 変曲点を調べ、そのグラフをかけ。
(1) y = √25-x²
(2) y = √√x²-x
MM
p.346 問題179
335
