重要 例題 51
x に関する2次方程式x2-(m-7)x+m=0 の解がともに正の整数である
とき,の値とそのときの解を求めよ。〔類 名城大]
数学A 基本 110, p.75 基本事項
2次方程式の整数解のた火
S
CHART & T HINKING
方程式の整数解
MEDIS
整数)×(整数)=(整数)の形にもち込む
①
2つの正の整数解を α, βとすると、 解と係数の関係から、α,B,mについて,どのような
関係式が得られるだろうか?
......
→a+β=m-7, αβ=m が得られる。 この2式から (整数)×(整数) = (整数)の形にも
ち込もう。 すなわち, m を消去し(αの1次式) (8の1次式)=(整数) とすればよい。
解答
2次方程式x2-(m-7)x+m=0 の2つの解を α, β (α≦β) int. 方程式を変形すると
とすると, 解と係数の関係により
m(x-1)=x2+7x
x が正の整数ならば右辺が
正。 ゆえに x≠1 である。
解答にあるとおり
αf=mであるから,mも
正の整数である。
よって, m=
) Ga+B=m-7, aß=m
m を消去すると α+β=αβ-7
よって
aβ-α-β=7
as
ゆえに
(a-1)(B-1)-1=7
よって
(α-1)(β−1) = 8 ...... ①
α, β は正の整数であり、α≦β であるから
0≤a-1≤B-1
#2015)
57²5@#30=10
the
x2+7x
--x-1
=x+8+
8
x-1
