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7 極限が存在するように定数を定める
2x2+ax+a+1
(ア) lim-
=bと書けるとき, α =
b=
」である.
x-2
x²+x-6
(中部)
(イ) αを実数とする. a=
] のとき, lim (4x'+x+ax)は有限な値
」をとる.
→+∞
(関西大 社会安全, 理工系)
分数式の極限が存在するとき
分母0のとき,
分子
分母
は分子→0でなければ発散する。つまり。
分母
(分母→0で →有限のとき,分子=分子
分数式の極限が存在するとき, 分母→0なら分子→0となっていなければならない.
分子
-×分母→有限×0=0, と説明することもできる
分母
精密に調べる前に (イ)では,“分子の有理化”をするが,変形する前にαの符号を調べておこう。
lim√42+xなので, a≧0のときは与式は∞に発散してしまう。よって&<0でなければならな
X100
このときはもは
00-00 不定形では?
いことがまず分かる.また,x→∞を考えるときはとしてよい.x2=|x|=xなどとすることが
できる.
■解答
SMART
(ア) →2のとき, 分母=x²+x-6→4+2-6=0であるから, 分数式の極限値
bのとき,分子→0でなければならない.
覚えない
よって, 2･22+α・2+α+1=0であるから, a=-3
2x2+ax+a+1
2x²-3x-2
このとき,
(x-2) (2x+1)
x2+x-6
x2+x-6
(x-2)(x+3)
2x+1
5
(2
=1
x+3
x-2 5
=1
←
<3a+9=0
する
←分母分子とも, x=2のとき0
なので,ともに2を因数にも
(因数定理) r-2で約分され
て不定形が解消する.
(イ) lim√42+x=+∞であるからa < 0 である.
→+∞
(42+x)-(ax)2
√2+x+ax=-
√√4x²+x-a
ax
(4-a2)x²+x (4-a²)x+1
(
参照.
√√4x²+x+ax
の分子を有理化
=
==
√√4x²+x-ax
4+
a
・① 分母が0以外の値に収束するよ
IC
うに、分母分子をxで割った。
④
のとき,①の分母→2-α(0) となるから, ①が有限な値に収束する
とき, 4-α2=0
1
a <0によりα=-2であり, lim ① =
x178
√A
2+2
-a
4
4-α>0のとき ①→∞
4-2<0 のとき ①→-8
