（2）でなぜ偶数と奇数で場合分けする必要があるのですか？ 教えてください。お願いします。

重要 例題 28 S2m, S2m-1 に分けて和を求める ①①① n 一般項がαn=(-1)"+1n2 で与えられる数列 {an} に対して, Sn=Σakとする。 (1) a2k-1+a2k (k=1, 2, 3,･････) をんを用いて表せ。 k=1 (2)n=(n = 1, 2, 3, ......) と表される。 1 章 章 指針 (2) 数列{a} の各項は符号が交互に変わるから,和は簡単に求められない。 次のように項を2つずつ区切ってみると =b₁ =b3 3種々の数列 Sn=(12-22)+(32-42)+(52-62)+...... =bz 上のように数列{bm} を定めると, b=akazk (kは自然数) である。 よって, m を自然数とすると [1] n が偶数, すなわち n=2mのときはS(42-1+azk) として求め られる。 k=1 k=1 [2] n が奇数, すなわち n=2m-1のときは, S2m=S2m-1+a2m より S2m-1=S2m-am であるから, [1] の結果を利用して S2m-1 が求められる。 このように, nが偶数の場合と奇数の場合に分けて和を求める。 (1) azk-1+αzk=(-1)2k(2k-1)^+ (−1)2k+1(2k)2 =(2k-1)^-(2k)²=1-4k 解答 2 [1]=2mmは自然数)のとき m m= m S2m=(a2k-1+a2k) = (1-4k) k=1 k=1 =m-4.12m(m+1)=-2m²-m =1であるから n n =-20 -2(2/2)² - 2 = -1/n (n+1) Sn= [2] n=2m-1 (mは自然数) のとき azm=(-1)2m+1(2m)2=-4m² であるから S2m-1=S2m-azm=-2m²-m+4m²=2m²-m (1)週数=1, (1) 奇数=-1 ={(2k-1)+2k} ×{(2k-1)-2k} Sm=(a1+az) +(a3+α)+...... +(a2m-1+a2m) Sm=-2m²-mに m=1/27 を代入して,n の式に直す。 S2m=S2m-1+a2m を利用する。 n+1 m= であるから 2 Sn=2(n+1)-n+1=1/12(n+1){(n+1)-1} =/1/21m(n+1) (−1)"+1 [1] [2] から Sn= -n(n+1). .. (*) 2 S2m-1=2m²-mをnの 式に直す。 TRAH. (*) [1] [2] のSn の式は 符号が異なるだけだから, (*)のようにまとめるこ とができる。

群数列の解き方が分からなくて、書いてあることもわからないので教えてください。 お願いします。

52 基本 29 群数列の基本 00000 奇数の数列を13, 57, 9, 1113, 15, 17, 1921. •••••• のように, 第n群が n個の数を含むように分けるとき [類 昭和薬大) (1) 第群の最初の奇数を求めよ。 (3) 301 は第何群の何番目に並ぶ数か。 (2)第n群の総和を求めよ。 P.43931 奇数で 2{1/(n-1)n+1}-1=㎥°-n+1 これはn=1のときも成り立つ。 (2) (1)より,第n群は初項n-n+1, 公差 2,項数nの等 差数列をなす。 よって, その総和は n(2-(n²-n+1)+(n-1)+2)=n' (3) 301 が第n群に含まれるとすると 指数を、ある規則によっていくつかの 群に分けて考えるとき、これを群 数列という。 もとの数列 n-n+1301<(n+1)-(n+1)+1 群数列では、次のように 規則性に注 目することが解法のポイントになる。 「区切りを入れる と分け方の規則 がみえてくる 区切りをとると もとの数列の規 則がみえてくる 数列 よって n(n-1)300 (n+1)n ...... ① n(n-1) は単調に増加し, 17・16=272, 18・17=306 であ るから, ①を満たす自然数nは n=17 1から始まる奇数の番 目の奇数は2k-1 <1-1+1=1 n(2a+ (n-1)d) まず, 301 が属する群を 求める。 右辺は第 (n+1) 群の最初の数。 n(n-1)が「単調に増加 する」 とは,nの値が大 きくなると n(n-1)の 章 3種々の数列 ① もとの数列の規則、群の分け方の規則 [2] 第群について、その最初の頃, 項数などの規則 上の例題において,各群とそこに含まれている奇数の個数は次のようになる。 301が第17群の番目であるとすると (172-17+1)+(m-1)・2=301 これを解いて m=15 したがって, 301は第17群の15番目に並ぶ数である。 k=151 別解 (前半) 2k-1301 から 値も大きくなるというこ と。 ◄a+(m-1)d 21 第1回 第2回 第3 (n-1) 群 第1群 1 3,57, 9, 11 ......... | | .......... 個数 1個 2個 3個 (n-1) 公差2の 等差数列 よって, 301 はもとの数列において, 151番目の奇数であ る。 301が第n群に含まれるとすると (n-1) n(n (n-1)+1番目の奇数 1/21n(n-1)<151s1/2n(n+1) (1)の数に注目する。 第群に 個の数を含むから、 第 (n-1)群の末頃ま でに (1+2+3++(n-1)) 個の奇数が ある。 第1群 ① 第2群 35 1個 ゆえに n(n-1)<302≦n(n+1) 2個 これを満たす自然数 n は, 上の解答と同様にして <第1群から第群まで にある奇数の個数は k(k+1) よって、第群の最初の頃は、奇数の数列 1.3.5の 第3群 7. 9. 11 第4群 13 15 17 19 第5群 21. 3個 4個 (1+2+3+....+ (n-1)+1) 番目の項で ある。 T {(1+2+3+4)+1} 番目 右のように、初めのいくつかの群で実験をしてみるのも有効である。 (2)第群を1つの数列として考えると, 求める総和は、初項が(1)で求めた奇数, 公 差が2項数nの等差数列の和となる。 (3) 体的な数を代入して目安をつけるとよい。 とし, まずa 301 <a +」 となるn を見つける。n に具 の最初の項を CHART 群数列 ① 数列の規則性を見つけ、区切りを入れる [2] 第群の初項・項数に注目 解答 1+2+3+......+(n-1)= 5,22という条件が (1) 22 のとき 第1群から第 (n-1) 群までにある奇数 第 (n-1) 群を考えるか つく。 の個数は 0-1/2(n-1)n よって、第群の最初の奇数は 1/2 (n-1)n+1} 番目の「+1」を忘れるな! n=17 基本例題29の結果を利用しての公式を導く 基本例題 29において, 第n群までのすべての奇数の和は, 解答 (2) の結果を利用すると 検討 1+2+3+....+= 2 一方,第n群の最後の奇数を, 第 (n+1) 群の最初の項を利用して求めると {(n+1)-(n+1)+1}-2=n+n-1 また、もとの数列の第群までの項の数は 1+2+3+…+n= 1/12n (n+1) ゆえに,第n群までのすべての奇数の和は 11/12/12m(n+1)(1+(n-1)=1/27(n+1)} したがって,{/12n(n+1)}' を導くことができる。 練習第群がn個の数を含む群数列 291|23|3454, 5, 6, 75, 6, 7, 8, 96, について (1) 第n群の総和を求めよ。 (2)初めて99 が現れるのは,第何群の何番目か。 ( 類 東京薬大〕 (3)最初の頃から1999番目の項は,第何群の何番目か。 また, その数を求めよ。

午後の数字0,1,2,3,4で重複を許して出来る、123より小さい自然数の個数ってどうやって求めるんですか？

この解説中に何度も順序(回)に対する意識を持ちなさいと書かれているのですが、例えば(1)において順序を気にしなかった場合どのような点でおかしなことになるのでしょうか。念の為失敗パターンも知っておきたいと思うのですが、まだ順序の区別への理解が足りていないせいかこの解答以外考え... 続きを読む

ITEM 確率 14 独立反復試行 ステージ1 原理原則編 確率 ① ③ 11111 3 3 3 3 3 第1回がA 一第5回がA ステージ1 原理原則編 確率 「サイコロを投げる」などの試行を, 毎回同じ条件のもとで繰り返し行うときの確率 について考えます。 米! 各回における確率は一定. これを,順序を意識して掛ける. (例題14 (1) 1つのサイコロを5回投げるとき,5回とも3の倍数の 目が出る確率を求めよ. (2) 1,2,3,4,5,6の6枚のカードが入った箱からカードを1枚取り出し, 番号を記録してから元に戻す. この試行を5回繰り返すとき, 5回とも3 の倍数のカードが取り出される確率を求めよ. 「着眼) 5回反復 1, 2, 3, 4, 5, 6 試行を視 (1) もちろん, サイコロを投げる各回の試行は独立です. したがって ITEM 11 の乗法 定理 (独立試行) を用い, 各回における事象の確率を掛けることで求まります。 (2) 本間のポイントは取り出したカードを元に戻 してから次のカードを取り出すことです(「復元 抽出」といいます)。 つまりカードを取り出すと き 箱の中には毎回「1, 2, 3, 4, 5.6」の6枚の カードが入っていますから, ある回におけるカ ードの出方は,他の回のカードの出方に一切影響力をもちません。 つまり (1) と同 様, 各回の試行は独立です. お気付きの通り, (1) と (2) は, 本質的にまったく同じ問題です. (笑) 上記のような独立試行の繰り返しを 「反復試行」といいます. 本書では今後,より詳し く 「独立反復試行」 と呼ぶことにします。 「解答 (1) 各回において起きる事象とその確率は A: 「3の倍数 (3 or 6) が出る」... このように、 ①で乗法定理(独立試行) を用いた際には「順序を区別して考えている」 ということをしっかり確認しておいてください. これは, Stage 1 「場合の数」 ITEM 3 の で述べたことと同じです. なにしろ 「独立反復試行」ですから, 毎回毎回まったく同じ条件のもとで試行を行う ので、つい「回」に対する意識が希薄になってしまいがちです. この意識が欠けている と今後簡単にミスを犯します! (->ITEM56) 注意厳格なことをいうと本来は, 「第1回の目が3の倍数」 「第2回の目が3の倍数」. ･･･は異なる事象ですから事象 A1, A2, ・・・などと区別して名前をつけるのが正しいです がちゃんと順序を区別して考えることが実行されていれば,とくに表現上の不備に よって減点されることはないでしょう. 補足 本間 (1) を 「異なる5個のサイコロを1回投げる・・・(*)」 に変えても, 「1回,2回, 3回,4回,5回」という「回」の区別が 「サイコロ a, b, c,d,e」という「モノ」の区別に すり替わるだけで、実質的に同じ試行であり、答えも全く同じになります。 要するに,本間の (1) (2) や (*) のように,各々の試行が独立に行われる場合には, 乗法定理(独立試行) を用いて解答できるのです. 「独立試行」という 参考〕 前 ITEM の 例題13 を,本ITEM のテーマである 「乗法定理 (独立試行)」で解いて みると,次のようになります. 順序は考えていない ○サイコロの目からなる連続する2つの整数の組合せは {1, 2}, {2,3}, {3, 4}, {4, 5, {5,6}の5通り. ○上記それぞれに対し, サイコロを区別すると2!通りずつの目の出方が対応するか ら,サイコロを区別したとき条件を満たす出方は 5・2!=10(通り). ○上記各々の確率は,全て (1) ･･･サイコロを区別して乗法定理を用いている 5 ○よって求める確率は, 10. (12) 最 A: 「それ以外が出る」 1- もよい 求める確率は, Aが5回連続する確率であり, ...① (1)① (2 (2) 求める確率は,3の倍数 (3 or 6) が5回連続して出る確率であり, =・ (2)=(-1)=2 類題 14 reokowaretenner でスキャン 白玉2個と赤玉5個が入った箱から玉を1個取り出し, 色を記録してか ら元に戻す.この試行を3回繰り返すとき, 3回とも白玉が取り出される確率を求めよ. 解答 解答編 p.4). 48 →4・122-3 49 72

③について 9,1,4,5,3,2,8,6,7 ではダメですか

4 9 111 31 =| S 2 3 2 (2) a 11 1 5 4

四角く囲ってある数列を初項(3/1)^2初項の数列の和に2かけたものだと思って計算してもいいんですか？

2 S = 1.1/2+3(6) +5 + +3 +(2n-1) (3) h h 1113(2) 5(日)(n)+(2n-1)(3) S = 2 + 2 3+2 2 (比) 3 2. (+)² + ({} 1-1/23 H れ intl 土 int 2 3 (5)-(2n-1)(5) 注意! 項数 n-2+1=n-1コ 必ず一部が 3 数列の和に!

なぜAPとARは等しいといえますか？

15√3 r = 2 √√3 = 4 15 2 から *OSI nie€ - S 次に, 内接円と辺BC, CA との接点を それぞれQ, Rとし A PXR B BA Key 4 CQ=CR=z APAR = x, BP = BQ = y, により B C とおくと, AB = 3, BC = 7, CA = 5 より 19 x+y=3, y+z=7, z+x = 5 TO C 5 9 これを解いて x= 23-22-2 1 であるから、四角い すなわち AP = 2 よって, ACP において, 余弦定理により Key 1 CP=5°+(1/2)-2.5. 111 cos 120° = 4 111 CP> 0 であるから CP 2 辺 とその間の角 攻略のカギ! は 辺と角がわかるときは, 正弦定理を用いよ 2辺とその間の角や3辺がわかるときは,余弦定理を用いよ (p.31) 角がわかるときは,正弦定理を用いよ8 (p.31) 9 3 ABST

問3の問題が全くわかりません、、。 解説お願いします🙇

2 右の表のように、3つの数の列 A,B,C がある。 列Aは、はじめの数が2で2ずつ増加する。 列Bは、はじめの数が1で2ずつ増加する。 列Cは、はじめの数が2で3ずつ増加する。 次の各問に答えよ。 列 13 列B 1 C 2 4 6 8 10 357 9 10 5 81114 Paath wish [問1] 次の の中の「あ」 「い」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。 attaikaミト 列Bの10番目の数は, あいである。 [問2] 列Aの番目の数と列Cのn番目の数の和が30で, m+n=12のとき、mn の値を求め よ。 2mt3n=26 D-zm+2n=-29 n:2 2mt2+int2:30 somton: I'm 26 に m+2=12 m=12-2 =10 [肉] 列Bで5から順に2つおきに数を取り出した列と, 列Cで5から順に1つおきに数を取り出 した列は, 5, 11, 17, 23, …となり,一致する。 列Cで11から順に3つおきに数を取り出した列をCとする。 また、はじめの数がαでbずつ増加する列をDとし,列Dの3番目の数から順に2つおきに 数を取り出した列を D' とする。 列C'と列 D'が一致するとき, a, bの値を求めよ。

下線部の4acが4･3･4になるのが理解できません( т т )

重要 例題 41 2次方程式の解の条件と確率 ①①①①① 000 3,4,5,6,7,8 から3つの異なる数を取り出し、 取り出した順にα, b, c とす る。このとき, a, b, c を係数とする2次方程式ax2+bx+c=0 が実数解をもつ 確率を求めよ。 基本36 指針 この問題では,数学Ⅰで学ぶ以下のことを利用する。 2次方程式 ax+bx+c=0)の実数解の個数と判別式D=b4acの符号の関係 D>0 のとき,異なる2つの実数解をもつ D≧0 のとき, ...... ★ D=0 のとき, ただ1つの実数解 (重解)をもつ実数解をもつ D<0 のとき, 実数解をもたない ゆえに, D=b2-4c≧0 を満たす組 (a, b, c) が何通りあるか,ということがカギと なる。この場合の数を 「a, b, cは3以上8以下の整数」, 「a=bかつbcかつc≠α」 という条件を活かして, もれなく、重複なく 数え上げる。 解答 できる2次方程式の総数は P3=6・5・4=120 (通り) 2次方程式 ax2+bx+c=0の判別式をDとすると,実数 解をもつための条件は D≧0 ① 1組 (a, b, c) の総数。 本 D=62-4ac であるから b2-4ac≧0 a,38, 3≦cs8であり, a≠cであるから b'≧4ac≧4・3・4 6=7,8 } (*) 28 指針 ★の方針。 本 acのとりうる最小の値 に注目する。 <72=49>48 であるから 6=7,8 ①より ゆえに 62≧48 よって 6=7 のとき, ①から 49 724ac すなわち ac≦ =12.25 -206 4.28 この不等式を満たすα, cの組は (a, c)=(3, 4), (4, 3) (n) (E) b=8のとき, ①から 824ac すなわち ac≦16 この不等式を満たす α, c の組は (a, c)=(3, 4), (3, 5), (4, 3), (5, 3) 2+4 1 したがって、求める確率は = 120 20 3以上8以下の異なる2 数の積は, 小さい順に 3・4=12, 3･5=15, 3・6=18>16 以後も16より大きい。 よって, a,cの組を絞る ことができる。 >

Tｾﾞﾛって０じゃないんですか？！ Aｾﾞﾛのときは面積1ですよね？！元の三角形の状態だから、T0は０だとおもったのですが、

はじ の面積 また,T= (1/2) So=1であるから ・1 ? Ath 9 ② に ① ③ を代入して Sn+1=Sn+3・4" (1) '=Sn+1/2 (14) n-1 n よって, n≧1のとき (Sx+1-Sx)=1+1 (4)* n Sn So+ (Sk+1−Sk)=1+ k=0 Sp=1 A.からてってつくんじゃ Sn=So+(S1-So) +…+(Sr-Sn-1) 71 ないの? tpun? An of の外 2 Brin E 2章 1 =1+ 3 1 =1+ ( 35 したがって 9 8 3/4 n 5 59 8 lim S-lim{-(4)- N11 l5 59 5 lim (1)=0 ④無限級数 pee C = C 図氏 Baca できる intan