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考え方
Check
例題292 分数型の漸化式 ( 1 )
a=-
Focus
で定義される数列{an}の一般項an を求めよ.
EUDO
MALWARE
1
an+1=
2
9
○
an の逆数
フェン
[an] (s) + Dg=+D THR
An
2-an
これまでに学んだ漸化式の解法が利用できないか考える。ここ
では,漸化式の両辺の逆数をとって考える.
ここで,(bm-
1
- をbn とおくと, 与えられた漸化式は,例題285
+29
an
(p.505) のタイプ (an+1= pan+g) となる
よって,
解 an+1=0 と仮定すると,
これをくり返すと,
an-1=An-2=・・・・・・=α1=0
1
となり, α= -≠0 と矛盾するので, an 0 (n≥1)
与えられた漸化式の両辺の逆数をとると,
1
2-an 2
an+1
an
an
1
an
=
an=
3 漸化式と数学的帰納法
***
an=0
1
2-1+1
--1
n=1のとき, α=
ASTERKE
(南山大)
ituto Ce
***********
とおくと,
bn+1−1=2(6n-1),bx-1=1
したがって,数列{bm-1} は初項1,公比2の等比数列だから、
bn-1=1・2n-1 より, bn=27-1+1
SCD &+s+an+
an+1=
&+as+
bn+1=26-1,b1=-=2
a1
となり,n=k+1 のときも成り立つ.
よって、すべてのに対して, an≠ 0 が成り立つ.
421
5 (1
-$+187
HEJN
の逆数
2-an
より, an=0
のとき, αk=0 と仮定すると,n=k+1 のとき,k+1=-
an
:=0
α=2α-1 より,
a=1
1=27-1+1 より,
an=
分数型の漸化式は逆数で考える
10.3
例題292 で an≠0 は,これから学ぶ数学的帰納法 (p.532〜) を用いた証明もでき
104030
る.
<an=0 の数学的帰納法による証明>
1/12/3=1
-≠0
トキノを確認するときとの
ちがいは?
(-
1
2-1+1
HOHES - C
ak
2-ak *0
513
+
CES
また、分数型の漸化式は,例題292のように逆数を考える方法だけでなく,例題
293 (p.516) のように特性方程式を利用する解き方もある。
SET
8
数
列
