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重要 例題 118 正領域・負領域の考え
|直線y=ax+bが, 2点A(-3,2), B(2, -3) を結ぶ線分と共有点をもつような
実数a,b の条件を求め,それを ab平面上の領域として表せ。
y>ax+by
AS
(*)
解答
直線l:y=ax+b が線分 AB と共有点をもつのは,次の [1] ま
たは [2] の場合である。
[1] 点A が直線lの上側か直線ℓ上にあり, 点Bが直線lの
下側か直線ℓ上にある。
その条件は
2≧-3a+b かつ
-3≦2a+b
[2] 点 A が直線lの下側か直線l上にあり, 点Bが直線lの
上側か直線ℓ上にある。
その条件は
2≦-3a+b かつ -3≧2a+6:
求める α, b の条件は, ①, ② から,
b≦3a+2
b≧-2a-3
b≥3a+2
[b≦-2a-3
または
と同値である。
よって 求める領域は図の斜線部分。
ただし, 境界線を含む。
64
2
x
指針 直線y=ax+b と線分ABが1点で交わる
( 点A,Bを除く) とき, 右の図からわか
るように, 2点A, B は, 直線y=ax+b
に関して反対側にあるから, 点A,Bの
一方がy>ax+bの表す領域,
他方がy <ax+bの表す領域
にある。このことから、AとBの座標をy=ax+bのx,yに代入したものを考えるとよ
い。なお,点Aまたは点 B がy=ax+b上にある場合も含まれることに注意する。
B
y<ax+b
2 (2
A
AS
-3
基本117
yay>ax+b
y<ax+b
[2] y
No
2
0
B
2
x
-3 B
12
注意 αb 平面とは,横軸に
α の値をとるα軸 縦軸に
の値をとるb軸による座標
平面のことである。
検討 (*)の条件をf(x,y) を用いて表す
①より -3a+b-2≦0 かつ 2a+b+3≧0
② より -3a+b-2≧0 かつ 2a+b+ 3 ≦0
となるから, a,bの条件(*)は, (-3a+b-2)(2a+b+3)≦0 と表すことができる。 これは
f(x,y)=ax+b-y とすると, f(-3, 2) f(2,-3)=0 ということである。
