基本例題217 最大値・最小値から3次関数の決定
0<a<3 とする。 関数f(x)=2x-3ax²+6 (0≦x≦3) の最大値が10, 最小値が
-18のとき,定数a,bの値を求めよ。 基本211)
指針 ① 区間における増減表をかいて, f(x) の値の変化を調べる。
②① の増減表から最小値はわかるが, 最大値は候補が2つ出てくる。よって, その最大
値の候補の大小を比較し,αの値で場合分けをして最大値をa,b で表す。
解答
f'(x)=6x2-6ax=6x(x-a)
f'(x)=0 とすると
x=0, a
0<a<3であるから, 0≦x≦3におけるf(x) の増減表は次の
ようになる
ogalja
Ba N=log
0
ゆえに
x
f'(x)
f(x)
b-27a+54
よって, 最小値f(a) = b-α3 でありb-d=-18
最大値はf(0) = b またはf(3)=6-27a+54
また、
f(0) f(3) を比較すると
a
0
b
極小
b-a³
+
f(3) -f (0)=-27a+54=-27(a−2)
0<a<2のとき
(0) <f(3),
(3)(0)
2≦a <3のとき
[1] 0<a<2のとき,最大値は
よって
これを①に代入して整理すると
ゆえに
(a-1)(a²+a-26)=0
-1±√105
2
3
f(3)=6-27a+54
6-27a+54=10 すなわち b=27a-44
a³-27a+26=0
よって
a=1,
0<a<2を満たすものは
このとき, ① から
[2] 2≦a<3のとき, 最大値は
よってb=10
これを①に代入して整理すると
a=1
b=-17
f(0)=b
a=28
28 33 であるから,a=28>3となり,不適。
[1],[2] から
a=1, 6=-17
(1)
10
384
Z(u)f(2)= 0
(最小値)=-18
① 最大 最小
極値と端の値をチェック
大小比較は差を作る
(最大値) = 10
MAID
10 -27
1
1 1 -26
261
1 -26
20
(最大値) 10
場合分けの条件を満たすか
どうかを確認。
場合分けの条件を満たすか
どうかを確認。
≤x≤1) の最大
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6章
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最大値・最小値、方程式・不等式
