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基本 例 2133次関数の極値の条件から関数決定
00000
3次関数f(x)=ax+bx+cx+d がx=0 で極大値2をとり, x=2で極小値
6 をとるとき, 定数a, b, c, d の値を求めよ。
[近畿大]
基本 20
指針 f(x) がx=αで極値をとる f'(α) =0 であるが,この逆は成り立たない。
よって、題意が成り立つための必要十分条件は
(A) x=0で極大値 2
→
f(0)=2, f'(0)=0
x=2で極小値-6f(2)=-6, f'(2) = 0
(B) x=0の前後でf'(x) が正から負に, x=2の前後でf'(x) が負から正に変わる。
を同時に満たすことである。
ここでは,必要条件(A) から, まず a, b, c, d の値を求め, 逆に,これらの値をもと
の関数に代入し,増減表から題意の条件を満たす(十分条件)ことを確かめる。
f'(x)=3ax2+2bx+c
基本
例
(1) 関数
囲を
(2)関
ただ
指針
解答 x=0で極大値2をとるから
f(0)=2, f'(0)=0
x=2で極小値-6をとるから f(2)=-6, f'(2)=0
よって d=2,c=0,
(*)
8a+46+2c+d=-6, 12a+4b+c=0
これを解いて
a=2,b=-6,c=0,d=2
逆に,このとき
f(x)=2x3-6x2+2
f'(x) =0 とすると
①, f'(x)=6x2-12x=6x(x-2)
x
...
x=0, 2
f'(x) +
0-0
...
20
関数 ① の増減表は右のよ
うになり、条件を満たす。
したがって
f(x) 7
極大
2
7
-6
a=2,b=-6,c=0,d=2
必要条件(変数4個で条
件式が4個であるから、
係数は決定する)。
|極小 |
...
+
指針_
の方針。
(*)の方程式から求めた
条件では,x=0,2の前
後でf'(x) の符号が変化
するか,つまり、実際に
極値をとるかはわからな
い。 実際に増減表を作り、
極値の条件が満たされる
ことを確かめる (十分条
件の確認)。
検討
極値をとるxの値
では, 2次方程式3ax2+2bx+c=0の解がx=0, 2である。 したがって, 解と係数の関係
3次関数f(x) の極値をとるxの値は, 2次方程式f'(x)=0の実数解であるから, 上の例題
により
0+2=-
2b
3a'
0.2=L
3a
ゆえに
b=-3a,c=0
このように, 極値をとるxの値が2つ与えられたときには、 解と係数の関係を利用すると,
文字定数の値や関係式を導くことができる。
練習 3次関数f(x)=ax+bx+cx+dはx=1, x=3 で極値をとる
② 213 極大値は2で, 極小値は?
また、その
解答
