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学部) その1
D
ある。
!」
三y平
=)1³/
p=
数列{an}の初項から第n項までの和 Sm, 数列{bn}の初項から第n項までの和 T, はそれぞれS
= Co, T, = 2 km C で表される。
Th=
Am 1
Am1
(1) y1を満たす自然数zy について,y+iCjyxCy=xC が成り
立つ。 i,j, p, g をそれぞれz, y を用いて表すと,i=
j=
制限時間 ; 35分
である。
(2) 2, b の値をそれぞれ求めると, a2 =
キノ
(3) S) , をそれぞれの式で表すと, Sm =
(4) 6m の式で表すと, bm=
である。
(解説)
q=
(イ)y-1
(ウ) 1
(2) (オ) 2 (*) 20 (3) (+) 2"-1
(4) () (n+1)-2"-2
解答 1
よって
また
(1) Cy-1Cy=-
(x-1)!
y!(z-y-1)! 2-y
i=7x-1, j=¹y-1
(1)
(y-1)!{(x-1)-(3-1)}!
(2-1)!
(x-1)!
y !(z −y)! __y!{(x-1)-Y)}! __Y!(s—y − 1)! ( z —y − 1)
=
b₁==
(x-1)!
(y-1)!(x-y)!
-=:-1 Cy-1
(x-1)!
₁₂ C₁ = ² + y ! (x−y)! = (y − 1)!(x −y)!
よって
p=ウェー1,g=-y-1
(2) n≧2のとき an=S„-S-1,b=T-T-1
よって
(x-1)!
(v-1)!{(z-1)-(y-1)}!=x-1 Cy-1
(3) (1) より,+1Ck=+1Ck+月 Ck であるから
a₁ =
Sn+1=2m+1Ck=m+1Cm+1+2+1C₂
S₁+1=2.2n-1
(I) y-1
(ク)21
ゆえに S₁₁ = *2" - 1
n≧2のとき, am=S-S-1より
az=S2-S1=(2C1+2C2)-1C=*2
b=T-T3=(1-4C1+24 C2 +34 3 +4・C4)-(1・3C1+2.3C2+3.3C3)
= (4+12+12+4)-(3+6+3)= #20
k=1
である。
=1+2 (C₁+. C-1) 1+2.c. + E.C.
= 2₁ C₁+2, C₁+1=22 C₁+1=2S, +1
) 番 名前 (
である。
よって
Sn+1=2S, +1
これを変形すると Sn+1+1=2(S₁+1)
したがって, 数列{S} は初項S1+1=1+1=2, 公比2の等比数列であるから
=(2^-1)-(2'-1-1)=2^-1
S=1であるから,①はn=1のときも成り立つ。
よって
an="2"-1
別解 二項定理
① において,
よって
したがって
(4) (1)より,
7
T=1 であ
よって
したがって
b1=Ti=
ゆえに
