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例題 159 命題と対偶
対偶を証明することにより、 次の命題を証明せよ。
「整数nについて n² が3の倍数ならば、nも3の倍数である」
考え方
解答
直接証明するのが難しい場合は, 対偶を利用して証明する.
もとの命題の対偶は,
「整数nについて,
nが3の倍数でないならば, n²も3の倍数でない」
となるので,これを証明する.
nは3の倍数でないので, kを整数として
=3k+1 または, n=3k+2
とおける.
n=3k+1 のとき,
n²=(3k+1)2
=9k²+6k+1
26580 =3(3k²+2k)+1
n=3k+2 のとき.
n²=(3k+2)2
**
=9k²+12k+4
=3(3k²+4k+1) +1
ここで, 3k2+2k, 3k²+4k+1は整数であるからn²は
3の倍数ではない.
よって, 対偶が証明されたので,もとの命題も成り立つ.
n² →n *V \ n < n²
の方が扱いやすい.
U TV in
「3の倍数」 は 3k (k
は整数)と表せ「3の
倍数でない整数」 は,
3k+1, 3k+2と表せ
る.
「3k²+2k｣,
「3k² +4k+1」 が整数
であることを必ず書く
