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遠心力に関係した身近なものとしては,洗濯機や遊園地のループ式ジェットコースターなどがある。
例題 33
鉛直面内での円運動
右図のような, 半径 [m] のなめらかな円筒面に向
けて、質量m[kg]の小物体を大きさ [m/s] の初速
度でなめらかな水平面からすべらせる。 重力加速度の
大きさをg[m/s] とする。
(1)鉛直線となす角が0の点(図の点C) を通過すると
きの小物体の速さと面から受ける垂直抗力の大き
大
さを求めよ。
(2) 小物体が点Bを通過するための の条件を求めよ。
m
Do
O
基礎
物理
129 134 138
B
C
センサー 39
解答 (1) 点での小物体の速さを
円運動では,地上から見て
解くか、物体から見て解く
かを決める。
[m/s] とすると, 力学的エネルギー
保存の法則より
Bmgcoso
N
① 地上から見る場合
遠心力は考えず,力を円の
半径方向と接線方向に分解
し、円運動の半径方向の運
動方程式を立てる。
v²
m-=F
または
mrw²=F
② 物体から見る場合
遠心力を考え、力を円の半
径方向と接線方向に分解し、
半径方向のつり合いの式を
立てる。
どちらでも解ける。
センサー40
物体が面に接しているとき,
垂直抗力 NO
(1) 水平面を重力による位置
エネルギーの基準面とする。
1
mu-mo+mg(r+rcos6)
2
2
ゆえに、
v=
vo2gr (1+cos)[m/s]
....... ①
垂直抗力の大きさを N[N] とすると,
地上から見た円運動の運動方程式は,
m-=N+mg cose
r
これに”を代入し、整理すると,
2
mvo
N= -mg (2+3cos0) 〔N〕
r
rcost0
mg
別解 小物体から見ると,円の半径方向にはたらく力は,実際
にはたらく力のほかに、円の中心0から遠ざかる向き
に遠心力がはたらいている。 半径方向の力のつり
合いより,
N+mg cose-m-00 (量的関係は上と同じ)
r
等速円運動では、円の接線方向にも加速度があり、物体か
ら見た場合、接線方向での力のつり合いを考えるためには,接
線方向にはたらく慣性力を考える必要がある。
(2) (1)より,00π[rad] では, 0が小さくなるにつれて, v,
Nはともに減少していく。 点Bを通過するためには,点B
でぃ> 0 かつN0 であればよい。 ①より, 0=0を”に代
入して,
v= Vo 4gr
よって, v4gr>0
ゆえに,vor
2
mvo
また,②より0=0をNに代入して, N=
5mg
r
よって,
③ ④ を比較すると,
V≧0(面から離れない条件) が
● の条件を決めることになる。
③ ④がともに成り立つためには,vo gr
V
2
mvo
r
- 5mg≧0 ゆえに、gr
9
9 円運動
7
