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テーマ 52 円と直線の位置関係
標準
円x2+y2=25...... ①と直線y=2x+m ・・・・・・ ② が共有点をもつとき,
定数mの値の範囲を求めよ。
( 43603M3
考え方
D を利用。
yを消去して得られる方程式の判別式
または, (円の中心と直線の距離) (円の半径) を利用。
解答 ①と②からyを消去して整理すると 5x2+4mx+m²-25=0
この2次方程式の判別式をDとすると
D
1=(2m)²-5(m²-25)=-(m²-125)
円 ①と直線②が共有点をもつのは, D≧0のときである。
よって, m²-125 ≦0より -5√5 ≤m≤5√5
別解 円 ① の中心と直線②:2x-y+m=0の距離をdとすると,円 ①と直
②が共有点をもつのは,ds5 (半径)のときである。
TALLMO
よって d=
ゆえに -55≦m≦5/5
Iml 55
|ml
√2²+(-1)² √5
> 練習 116
円x2+y2=1... ①と直線y=-x+m...... ②が異なる2点
で交わるとき,定数mの値の範囲を求めよ。
FW-3-(5)-(TV)
テーマ 53 円の接線
応用
点A(0, 5) から円x2+y2=5に引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ。
FIUM
考え方 求める接点をP (p, g) とすると, 接線の方程式は px+qy=5
HA TORN
点Pが円上にある→p'+q^=5|
接線が点Aを通る → 0+5g=5
2式から, g の値を求める。
解答 接点をP (p, g) とすると, Pは円上にあるから p²+q²=5
また, P における円の接線の方程式は px+qy=5
この直線が点A(0, 5) を通るから 0+5g= 5
(2)
① ② から g=1, p=±2 よって, 接線の方程式と接点の座標は
| 接線 2x+y=5
[答]
接点 (2,1)
接線 -2x+y=5
接点 (-2, 1)
35
117点A(-1,37) から円x2+y2=25に引いた接線の方程式と接点の
座標を求めよ。
第3章 図形と方程式
14.50
[x2+(y-1)²=5
(3)
2x+y=6=x
② より y=−2x+6を①に代入して整理する
024x+4=0 共
この2次方程式の判別式をDとすると
D
=(−2)²-1.4=0
81 64
よって、 共有点の個数は
11 TER
別解 円の中心は点(0, 1) であり,点(0, 1)と
直線 2x+y-60の距離は
d=
20 +1-6|
V22 +12
5
√5
円の半径をとすると
r=√√√5
よって, d="であるから、円と直線は接する。
すなわち, 共有点の個数は 1個 |
ETT
114 円の中心は原点であ
り, 原点と直線
2x+y-5=0の距離は
0>1-
1-51
106 d=
==√5630=
0=3+10 21
x2+y2=x22
41600=E+x-*
円と直線が接するのは d=7のときである。
LEVE
よって
=√5
(4) 0.x+(-6)y=36
115 (1) 5x+3y=343
(2) -1.x+2√3y=13b Job
すなわち
0 (3) 3x+0.y=9
-x+2√3y=13
O x
√2² +12
5
==√√5 AHO
√√√5
すなわち
すなわち
116② を①に代入して①x2+(-x+m)²=1
整理すると 2x2-2mx+m²-1=0.
10 この2次方程式の判別式をDとすると
(m²-2) >0
m²-2<0(1-) +
よって
。。
x=3
y=-6
ゆえに
117 [接
ると.
から
p²
また
接線
-√2<m<√2
p.
この
ゆ②整す②
D
+=(−m)² — 2(m ² − 1) = − (m² − 2)
* Je 1
円 ①と直線②が異なる2点で交わるのは D>0
のときである。
よって
すなわち
これを解いて
別解円 ① の中心と直線② ; x+y-m=0 の距
離をdとすると, 円 ① と直線②が異なる2点
で交わるのはd<1のときである。
上
座
118
