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重要 例題 214 区間に文字を含む 3次関数の最大最小
f(x)=x-6x+9x とする。 区間 a≦x≦a+1におけるf(x)の最大値 M(α)
めよ。
指針 まず, y=f(x)のグラフをかく。 次に、 幅1の区間 α≦x≦a+1をx軸上で左側から
しながら, f(x) の最大値を考える。
なお,区間内でグラフが右上がりならM(α)=f(a+1), 右下がりなら M(α)=f(
また、区間内に極大値を与える点を含めば, M(α)=(極大値) となる。
更に,区間内に極小値を与える点を含むときは,f(a) = f(a+1) となるαとαの大小
より場合分けをして考える。
CHART 区間における最大･最小極値と端の値をチェック
解答
f'(x)=3x2-12x+9
=3(x-1)(x-3)
f'(x)=0 とすると x=1, 3
増減表から, y=f(x)のグラフは
図のようになる。
■ [1] a+1<1 すなわち a <0のとき
M(a)=f(a+1)
=(a+1)³-6(a+1)² +9(a+1)
=a³-3a²+4
[] [2] a<1≦a+1 すなわち
0≦a <1のとき
口 [4]
Q=
M(α)=f(1)=4
次に, 2 <a <3のとき f(a)=f(α+1) とすると
a²³-6a²+9α=a³-3a²+4
9+√33
6
以上から a < 0,
XC
f'(x) +
f(x)
−(−9)± √(−9)²—4.3.4
よって
2-3
2<α <3であるから, 5336 に注意して
9+√33
[3] 1≦a<
6
≦aのとき
1≦ad
ya
9+√33
6
0≦a <1のとき M (α)=4;
1
0
極大
4
練習 f(x)=r³-²u²
a 01
a+1
[2] [3]
9±√33
6
極小
0
a=
3
0 +
y=f(x)
ゆえに 3²-α+4=0
[4]]
-1
a 3 a+1 x
のとき M(α)=f(a) = α-6a²+9a
M(a)=f(a+1)=a³-3a²+4
≦αのとき M (a)=a^²-3a²+4;
9+√33
60
9+√33
6 のとき M(α)=α-6a²+9a
基本21
[1] 区間の右端で最大
a O 1
Sa+1
[2] (極大値) (最大値)
■最大
Oja1 3
a+1
[3] 区間の左端で最大
[最大] α+1
#3
na+1
[4] 区間の右端で最大
/3
最大
a+1
