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10 極値をもつ条件
関数A(x)=xについて,次の問いに答えよ.
(1) A(x)の増減を調べ, 極値を求めよ.
(2) 関数B() がB' (x) =A (z) を満たすとする. a を実数とし,x>0において, 関数
f(x)=B(z) -axが極値をもつとき,aのとりうる値の範囲を求めよ.
問題文のf(x)が極値をもつとき
100k
(大阪工大・推薦/改題)
f'(x) =0であることのみに注目してはいけない. f'(x) = 0
の解の前後でf'(x) が符号変化しなければ極値をもたない.
極値をもたない条件は,f'(x) が符号変化をおこさない (つねに0以上,またはつねに0以下)こと
である.
文字定数を分離してとらえる場合 f'(x) の符号がg(x) -αの符号と同じになるとき,f'(x) の
符号は,曲線y=g(x) と直線y=αの上下関係で判断することができる.y=g(x) がy=aの上側にあ
れば常にf'(x)>0, 下側にあれば常にf'(x) <0である。 このように,文字定数 αが分離できれば,定
曲線y=g(x) と, x軸に平行な直線y=αとの上下関係を調べればよいので,とらえやすい。
解答
>
(1) A'(x)=2xe-x+xd(-e-x)=x(2-x) e-x
A(x)の増減は, 右表のようになる.
(x))
+(x)=
(x)=Sit
I
0
2
4
極大値は A (2)=- 極小値はA(0)=0
e²
A'(x)
-
0 + 0
=
A(x)
7
>
V
H
(2) f'(x)=B'(x)-a=A(z) -a
x>0においてf(x) が極値をもつ条件は,
である。
f'(x)がx>0で符号変化すること
f'()
(8-8)579-
A(x)-a>o
0
+
f(x)。
A(x)-9<0
=(x)7
Acx)>a
A(x)<a
常にf'(x)>0⇔ y=A(x) がy=αの上側
常にf'(x) <0⇔y=A(x) がy=aの下側
①
である. (1) の過程, およびx>0のときA(x)>0
とから,y=A(x) のグラフは右図の太線のようにな
る。 よって, ①により, 求める範囲は
4
e2
0(x)\il (1) 0<a<- のとき 直線と曲線は
0<x<2で交わり, f'(x)は負か
ら正へと変化するので,ここで極
小値をとる. limA(x) =0(左
0<a<4
30
x110
2
x
下の注) であるからx>2でも必
ず交わり ここで極大値をとる.
x2
x-00 et
注 lim -=0･･････であるから, limA(x) =0が成り立つ.
X11
※を証明しておこう x = 2s とおくと,
x2
ex
e2s
(es)2=4()²
S
1+8%
6の前文を参照.
() ()
は,x>0のとき,
S
so es
であるから, lim -= 0 を示せばよい.e=t とおくと,
S log t
>1+x+-
+
-を導いて示
となり,
2 6
es
t
すこともできる.
log x
818
IC
6(2) から lim -=0であるから lim=0である.
S
S-8 es
