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ラに
基本 例題 213 係数に文字を含む3次関数の最大･最小 ①①①①①
aを正の定数とする。 3次関数f(x)=x-2ax+a'x の 0≦x≦1における最大
値M (α) を求めよ。
[類 立命館大 ] 基本211 重要 214
花に含まれて
指針▷文字係数の関数の最大値であるが,か.329 の基本例題 211 と同じ要領で,極値と区間の端
での関数の値を比べて最大値を決定する。
f(x) の値の変化を調べると, y=f(x)のグラフは右図のようにな
る(原点を通る)。 ここで, x= 以外にf(x)=
=(1/3)を満たす f(3)
(これをα とする) があることに注意が必要。
突域の端の
。
値は記入
sh
a
3'
合分けを行う。
よって,
解答
f'(x)=3x2-4ax+a²
=(3x-a)(x-a)
f'(x)=0 とすると
α ( 1 <a) が区間 0≦x≦1に含まれるかどうかで場
a
3
>0であるから, f(x) の増減表
は右のようになる。
ゆえに
a
x=3, a
(x − 3 ) ² (x-²3²-a)=0
[3] 0<a<1
以上から
[注意]
x
:
f(x) = 27a² +²5 x³−2ax²+a²x−27a³=0
4
3
0<a</ •
a
3
0
極大
f'(x) +
4
f(x)
ここで, x=1/3以外にf(x)=1
4
27 3 を満たすxの値を求めると
4
3
X ≦a≦3のとき
4
27
3 <α のとき
*a< 1 すなわち0<a<2のとき
a³
...
a
x=1/3であるから
したがって、f(x) 0≦x≦1における最大値 M (α) は
M(a)=f(1)
[1] 1</o/ すなわちa>3のとき
3
[2]
2012s1s1234 すなわち 24 sas3のとき M(G)=(6)
M(a)=f(1)
a
0
|極小
0
+
4
x==3a
| f(x)=x(x²-2ax+a²)
=x(x-a)2 から
(+) N
O
|ƒ(7)=3-(-²3²-a)² = 24/7a²³
[1] YA
[2] YA
a³
O
1
1
[3] y
-a²-2a+1
11
II
1 a
3
最大
43
1
ales
3
a
10 a
3
4 最大
a²-2a+1
1
aax
a
a 4 1
M(a)=a²-2a+1
M(a)=
27 9³
4
曲線 y=f(x)と直線y=27dx=1/3の点において接するから, f(x) - 122742 は
で割り切れる。このことを利用して因数分解している。
の区間 0≦x≦2にお
33
6章
37
最大値・最小値、方程式・不等式
P36
