楕円積分の前に, もっと簡単な積分をおさらいしておく、有理関数
多項式
多項式
arctan の組合せで書ける。詳しくは微積分の教科書)をご覧いただきたいが, お
およそ次のような順番で証明する2)まず R(r) を部分分数分解する:
R(z)の積分|R(z)dzは,有理関数,対数関数 log と逆正接関数
dim xteim
12
mj
h
mj
Cim
(2.2) R(z) = P(z)+2 2
+ 2 と
リーム+1 m=1((z-a,)+b})"*
j=1m=1(c-a;)"
ここで,P(x)は多項式,a, b, Cm, dpm, Ejm は実数,ム, le, m, は正の整数である.ゴ
チャゴチャ面倒になったように見えるが,要は各パーツが簡単に積分できるよう
に分解した,というのがアイディア.
多項式 P(z)は
ST S(りひ
京をのきさ
2n+1
J* dz =
(n:自然数)
n+1
sbe
という公式によって積分でき, 結果は多項式になる。
残りの部分のうちの m=1の項は, 基本的な公式3)
ハ+ 食館
de
: log (r-a),
ミ
C-a
de
S
+1
arctan x,
2.c dc
S?
= log(z?+1)
2+1
を変数変換して積分する. m>1の項は, 部分積分によって漸化式を作ってm
=1の場合に帰着する。
