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③ 195
方程式x-3px +8p=0が異なる3つの実数解をもつように、 定数
f(x)=x-3px + 8p とするとき, y=f(x)のグラフとx軸
が異なる3つの共有点をもつ条件を考えればよい。
f'(x)=3x²-3p²=3(x+p)(x-p)
[1] =0 のとき
f'(x)=3x≧0 となり, f(x)は常に増加するから
y=f(x)のグラフはx軸と1点で交わる。
よって, 方程式f(x)=0 の実数解は1個であるから,不適。
0 のとき
[2]
関数f(x) は x = p -p において極大値と極小値をとる。
y=f(x)のグラフとx軸が異なる3つの共有点をもつため
の条件は
ƒ(p)ƒ(-p) <0
(p³-3p³+8p)(− p³+3p³+8p) <0
−4p²(p² −4)(p²+4) <0
p²>0
p² +4>0
[+x[-²x =
よって
ゆえに
カ≠0 から
また,常に
よって
これを解いて
これは p≠0 を満たす。
W
[1]. [2] から p<-2,2<p
p2-4> 0 すなわち (p +2)(p-2)>0
p<-2,2<p
の値の範囲を求めよ。
[inf.]
inf. 3次方程式
f(x)=0 が異なる3つの
実数解をもつための条件
は、関数 f(x) が極値を
もち,極大値と極小値が
符号となることである。
極大値(
x
a
XC
y=f(x) とする
>0 のとき
:
T
y
y' + 0
y
極大
p<0 のとき
-p
...
y' +
B
0
極小値円
:
-
x
p
-
0 |
+:
+
極小 >
p
20
0 +
> 極大 極小 >
-p
:
