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684 第10章 空間のベクトル
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例題
考え方
解
練習
390
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(1) 直線l:x-1=y-1
390 平面の方程式の決定
平面α の方程式を求めよ.
(2)直線m:
2
平面β の方程式を求めよ.
18 ***
a)
S
z+1を含み, 点A(1,-2,3)を通る
+9A
2
x+1_y-1²-1
3
に垂直で,点B(2, 2, 2) を通る
F
(1) 一直線上にない3点を通る平面はただ1つ決まるから, 直線上に適当な2点
を定め、その2点と点Aを通る平面の方程式を求める
(2) 直線m⊥平面βより,平面Bの法線ベクトルは直線mの方向ベクトルである
mmmmm
よって,
4 89+9A ADELINE
(1) x=1, x=0 として,直線上の2点B(1,1,-1),
(0,-1,1)を定める. 一直線上にない3点A,B,C
を通る平面上の任意の点をP(x,y,z)とする.>
AP=sAB+tAC (s,t は実数) が成り立ち,
AP=(x-1, y+2, z-3), AB = (0,3,4),
AC=(-1, 1,-2) であるから、
01 (SI-A
(x-1,y+2, z-3)=s(0, 3, -4)+t(-1, 1, -2)
よって,
x-1=-t, y+2=3s+t, z-3=-4s-2t
これより, s, t を消去すると, 2x-4y-3z=1
(別解) x=1,x=0 として,直線上の2点B(1, 1, -1),
C(0, -1, 1) を定める. また, 平面αの法線ベク
トルを n = (a,b,c) (n=0) とする.
0
AB=(0, 3, -4), AC = (-1,1,-2) だから,
AB より, n ・AB=36-4c=0
nLAČKY,
(2) (2, -3
x=1, 2 などでもよい、
ZCVA
ニテ <
[[tAC
la A SAB
平面αの式を
P
T
B
ax+by+cz=d
n・AC=-a+6-2c=0
これより、その1つは,α=2,6=4,3
よって, 求める平面の方程式は、法線ベクトルがAはCから下
=(2,-4,-3) で,点A(1,2,3) を通るので,
2(x-1)-4(y+2)-3(z-3)=0 より
2x-4y-3z=1
(2) 直線mの方向ベクトル u = (2,3,4)は,平面βの法
線ベクトルになっているから,平面βの方程式は、
2(x-2)+3(y-2)+4(z-2)=0
2x+3y+4z=18
とおき, 平面αを通る
3点の座標を代入して
もよい。
なお,点Aのほか, 適
当な2点をとればよい.
21100
平面βの法線ベクトル
はn=(2,3,4) より,
2x+3y+4z=d と表せ
る。これが点Bを通る
ことを利用してもよい。
(1) 2点A(0,-2,-1), B(3,4, -1) を結ぶ線分ABを2:1に内分する点
をCとする. 点Cを通り線分AB
考え
食
