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数学 高校生

初めの3x乗=5〜という文は書かないといけませんか?

演習 例題186 指数方程式の有理数解 (2) 3*5-2V=5*3"-6 を満たす有理数 x, yを求めよ。 えも多く と大 いう。 基本 167 指針>実数において, ものを 無理数 という。 1)、無理数であることの証明では,有理数であると仮定して,矛盾を導く(背理法)。 12)方程式1つに変数がx, yの2つ。有理数という条件で解くから,(1) が利用できそう。 底が3,5であるから,3"=5 [(1)] の形にはならないことを用いる。 m (m, n は整数, nキ0) と表される数を 有理数 といい, 有理数でない n 5章 13 33 grby .0 CHART 無理数であることの証明 m (有理数)とおいて, 背理法 () n 先野さ光 -1e+ 解答 (1) 3*=5 を満たすxはただ1つ存在する。 そのxが有理数であると仮定すると,3*=5>1であるから 背理法 事柄が成り立たないと仮定し て矛盾を導き,それによって m x>0で, x=ー (m, n は正の整数)と表される。 -(a事柄が成り立つとする証明法 n (数学I)。 ち 判来の」< ー1 間 0logcos.x m 3=5 s0 よって 3m=5 … 0 0<a--( [) ここで, ① の左辺は3の倍数であり, 右辺は3の倍数ではな43と5は1以外の公約数を いから,矛盾。g トって rけ有理数ではないから, 無理数である。3① 両辺をn乗すると もたない。このとき,3と 5は互いに素 という。 Hosen's3を満 抜m, nの組 12X2V-6-5*-5-2 関連発 展問題

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数学 高校生

なぜこの範囲なのですか?

OP=2, ZPOH=0であるから,Pの座標は よって, Sは 20+α=90° のとき最大値 12(V5+1)をとる。 計> AQKHの面積を求めるには、辺KH, QK の長さがわかればよい。そのためには,点P 半径rの円x+y=r?上の点 A(x, y) は,x=rcosa、 y=rsina (aは動径OAの表 す角)とおけることと, ZPOQ=90° より,ZQOH= POH+90° であることに着目。 象限を動く点である。ただし,原点Oに対して, 常に ZPOQ18 であるとす 更にZPOH=0とする。このとき、AQKH の面積Sは tan0="コのと きをもつ。まず,これを書き DOO00 +cの最大値を求めよ。 253 を動く点で x また。 る。 基本 152) をとる。 す。 最大値C き。 用できる。 【類早稲田大) 重要159) 点Qの座標を式に表すことがポイント。 4章 (2cos 0, 2sinθ) 27 が消去できた形になる。 って,以後はBのみを 三ればよい。 Q 4 (4cos(0+90°), 4sin(0+90°)) すなわち(-4sin0, 4cos0) S=KH-QK=;(2cosθ+4sin0)-4cosé ただし 0°<0<90° 1 -4 K 0 6H2× ゆえに =2(2cos?0+4sin@cos0) =2(1+cos 20+2sin20)=2{V5 sin(20+α)+1} 辺 三理 sin角 外接円の半径) 三角関数の合成。 2 0°<a<90°を満たす角。aは具体的な角として表す , COS α= 75 (0°<) α<20+α<180°+α (<270°) ただし,aは sina=ー ことはできない。 の公式を利用する。 『くの<90°から 1 20+a=90°のとき tan 20=tan(90°-α)= tan α COS α 1 =2 sina Asina= V5 2 Cos α= のとき, 2tan 0 -=2 よって tan?0+tan0-1=0 となるから, (tan0 についての2次方程 式とみて解く。 ゆえに 1-tan'0 アー1+ 5 tan 0= となるのは、 自形のときで 『くB<90° より tan 0>0 であるから 2 後習|0を原点とする座標平面上に点 A(-3, 0) をとり, 0°<0<120° の範囲にある0 162 に対して,次の条件(a), (b) を満たす2点B, Cを考える。 (a) Bはy>0の部分にあり, OB=2かつ ZAOB=180°-0である。 (b) Cはy<0の部分にあり, OC=1かつ ZBOC=120° である。ただし, AABC は0を含むものとする。 (1) A0ABと AOACの面積が等しいとき, θの値を求めよ。 (2) 0を0°<0<120° の範囲で動かすとき, △0ABと △0ACの面積の和の最大 値と,そのときのsin0の値を求めよ。 する。 三社大) (東京大) 104

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数学 高校生

⑵でなぜcosC/2の値を求めるのですか?

AP.239 基本事項 1, 2 (重要161, 『本 例題152 和と積の公式 () cos 20° cos 40° )積→和,和一積の公式を用いて,次の値を求めよ。 (イ) sin75°+sin15° AABC において, 次の等式が成り立つことを証明せよ。 -cos cos称 ア) sin75°cos 15° B C A -COS 2 sin A+sinB+sinC=4cos。 1aー(9+)aieト 指針>(2) AABCの問題には, A+B+C=π (内角の和は180°)の条件がかくれ 「A+B+C=nから, 最初に Cを消去して考える。… そして,左辺の sinA+sinBに 和→積の公式 を適用。 解答 (1)(ア) sin75°cos 15°= 2 (sin(75°+15°)+sin(75°-15°)} 2+/3 3 1+ 2 <公O =(sin90°+sin60°)= 4 V2 V3 75°-15° -COS 2200 =2sin45°cos 30°=2· ie-8-)aie (イ) sin75°+sin15°=2sin 75°+15° 2 2 2 11 -{cos60°+cos(-20°)}cos 80°: 1 +cos 20° )cos 80° 2 (ウ) cos 20°cos 40°cos 80°= 2 2 nie+ ()1 1 {cos 100°+cos(160°)} 2 2 1 1 -cos 20° cos 80°= 2 -cos 80°+ 4 -cos 80°+ 4 1 cos 80°+ 4 96 "cos 100°+ 4 1 1 =cos 80°+-cos(180"-80") + 1 1 8 4 4 8 1 -cos 80° 1 Cos 80°+ 4 ieon 1 1 ミ 8 8 (2) A+B+C=πから C=π-(A+B) ゆえに sinC=sin(A+B), A+B A+B π =COS 2 =sin 2 COS 2 20 A+B COS 2 (8-)eo A+B よって sin A+sinB+sinC=2sin- A-B -+sin2·4+B0-0 ホ3 2 2. A-B aie +cos A+B =2sin くのく会のとき、 0の方性式 8=2cos COS 2 2 C A B ような正の整数 の *2cos 2 2 COS -kon 。 =4cos A g cos cos e B C 大) るす人分の "COS 2 2 2ie

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数学 高校生

なぜ点Qの座標がrcos(‪α‬+π/3)なのですか?

「点P(3, 1)を,点 A(1, 4) を中心として だけ回転させた点をQとする。 232 OO0 基本 例題148 点の回転 25 π 点P(3, 1)を,点 A(1, 4) を中心として今だけ回転させた点を9と。 (1) 点Aが原点Oに移るような平行移動により,点Pが点Pに移るし 基 π 点P'を原点0を中心として (2)点Qの座標を求めよ。 2 3 p.227 基本事項 ソト 指針> 点P(xo, Yo) を, 原点 Oを中心として0だけ回転させた点を Q(x, y)とする。 OP=rとし,動径 OP とx 軸の正の向きとのなす角を αとす Q(rcos(a+0、 Tsinla+ ると Xo=rcos α, o=rsina SP 0 (Tcosa、 Y OQ=rで,動径 OQ とx軸の正の向きとのなす角を考えると, 加法定理により x=rcos(α+0)=rcosαcos0-rsinαsin0=xocos0-yosin0 ソ=rsin(α+0)=rsinacos0+rcosαsin0= yo Cos 0+ xosin0 この問題では,回転の中心が原点ではないから, 上のことを直接使うわけにはいかない。 で,3点P, A, Qを,回転の中心である点Aが原点に移るように平行移動 して考える。 二情 CD _rsu 0 0 YSna エ十xを 解答 (1) 点Aが原点0に移るような平行移動により,点Pは点 P'(2, -3)に移る。次に, 点Q' の座標を(x', y)とする。 また,OP'=r とし,動径 OP' とx軸の正の向きとのなす角 |x軸方向に-1, y軸方向 に-4だけ平行移動する。 129 nst 13 S65 をαとすると 2=rcos a, -3=rsina S65 よって デーrco(a+号)rcomcosーrsinasin よって x'=rcos{α+ =rcos a COS 3 -rsinasin- 3 3+ イrを計算する必要はない。 1 =2. 3 2+3/3 2 ゾ=rsin(a+ 2 2 4 4 π =rsinacos+rcos asin 3 → TA Sin3 ち向の五O 1 13_2/3-3 三ー 2 2 2 2+3/3 2/3-3) 2 Boe nspns 0NV2 |3 したがって、点Q’の座標は 万3

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