5 [青チャート数学
すべての自然数nにつ
57 不等式の証明
+3+1/17/30/
00000
以上のすべての自然数nについて,次の不等式が成り立つことを証明せよ。
3->n²-n+2
①
P.498 基本事項
「n」 であるすべての自然数nについて成り立つことを示すには、出発点を変えた
数学的帰納法を利用するとよい。
[1] n=●のときを証明。
出発点
[2]n=kk≧) のときを仮定し, n=k+1のときを証明。
本間では,n≧3 のとき, という条件であるから,まず, n=3のとき不等式が成り立つ
ことを証明する。 なお, n = k +1のとき示すべき不等式は3*>(k+1)-(k+1)+2
大小比較 差を作る
A>Bの証明は 差 A-B> を示す
1
CHART 数学的帰納法
nの出発点に注意
2
+1 の場合に注意して変形
[1] n=3のとき
左辺 =329, 右辺) =32-3+2=8
よって、 ① は成り立つ。
[2]n=k(k≧3) のとき,①が成り立つと仮定すると
3k-1>k2-k+2
(2)
n=k+1のとき, ①の両辺の差を考えると,② から
3-{(k+1)-(k+1)+2}
ゆえに
=3.3k-1-(k2+k+2)
>3(k-k+2)-(k+k+2)
=2k2-4k+4=2(k-1)^+2>0
3k>(k+1)-(k+1)+2
よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。
[1] [2] から, n3であるすべての自然数nについて
①は成り立つ。
<出発点は n=3
(左辺) > (右辺)
k≧3を忘れずに。
② を利用できる形を作
り出す。
基本形を導くことによ
(左辺) (右辺) > 0 が
される。
指数関数のグラフについては,数学Ⅱ を参照。)
2の大小関係
関数 y=3x-1, y=x2-x+2のグラフは右図のようになる。
2つのグラフの上下関係から
3->n2-n+2 (n≥3)
が成り立つことがわかる。
交点
7
12
4
01
2
y=r
y=3-1
3
