88 内接円の半径 (II)
銀内コ
145
∠C=90° をみたす直角三角形ABC において, BC=α, CA=6,
AB=c, 内接円の半径をとする.
(1)c=a+6-2 が成りたつことを示せ.
(2)三角形の周の長さと内接円の直径の和が2のとき,cをrで
表せ.
精講
87 も内接円の半径がテーマですが、 違いは本間の三角形が直角三角
形であることです.このときは,内接円の半径は三角形の面積がわ
からなくても求めることができます. こういうときに,2つ覚える
のはメンドウだから,一般の三角形で有効な 87 だけ頭に入れておいて1つです
まそうと思ってはいけません.もし,(1)の誘導なしで(2)が出てくると,試験中
に解けなくなってしまう可能性があるからです.
解答
(1) 内接円と辺BC, CA, AB との接点を
それぞれ, D, E, F とおくと,
B
a-r
a-r
CD=CE=r だから,
a
I
AE=6-r, BD=a-r
ここで, BF=BD=a-r, AF=AE=b-r
AB=AF+BF だから, c=a-r+b-r
よって,c=a+b-2r
D r
r
CrE
(2)条件と(1)より,a+b+c+2r=2,c-a-b+2r=0
よって, 2c+4r=2
∴.c=1-2r
r
b
-b-r
ポイント
斜辺の長さがcの直角三角形の他の2辺の長さをα.
b,内接円の半径をrとするとc=a+b=2