量子力学わかる方教えて欲しいです。

以下、2で割ったプランク定数んと光速c を基準 (h=c=1) とする単位系を採用する。 1. 量子力学と線形代数、 対称性と保存則 Aを任意のエルミート演算子,入) を Aの固有値入。 に属 する固有ベクトル, すなわち, _A|入口> = 入口 入口), であるとする。 (1) 入口 が実数であることを示せ。 (2) 入口 ≠ 入 のとき二つの固有ベクトルは直交することを示せ｡ 以下、Ua = eisA (a は任意の実数)と置く。 (3) U はユニタリー演算子になることを示せ。 (4) 任意のαに対しU がある演算子と可換であるとき、AはHと可換であることを示せ。 時間に依存するベクトル | (t)) は次の (Schrödinger の) 微分方程式を満たすものとする。 i(t)) = H|y(t)) dt ここでHはエルミート演算子とする。 (5) ベクトルの内積 (v(t) (t)) が変数tに依存しないことを示せ。 (6) Aは時間に依存しないものとする。 任意のαに対しUとHが可換であれば、 ((t)|Alv(t)) は変数 ((t) (t)) tに依存しないことを示せ。

(2)の下から4行目でどうして5k+3k=1となるのですか??解説お願いします🙏

A 60 解答 (1) B6 配点 (1) 12点 (2) 14点 (3) 14点 (2) CO ベクトル (40点) 点レは辺ABの中点であるから OL="+6 2 OA=3,OB=5,∠AOB=120°の△OAB があり、辺ABの中点をLとする。また, OA=4,OB= " とする。 (1) OL 77, を用いて表せ。 また、内積の値を求めよ。 (2) OA の中点をM, 辺OBの中点をNとし, 点Cを15LC-5MC-9NC=0 となる ようにとる。 OC を n を用いて表せ。 また, 直線 OCと直線AB の交点をDとする とき OD を , を用いて表せ。 (3) (2) のとき、点Cから直線AB に引いた垂線と直線AB の交点をHとする。 OH を . を用いて表せ。 また, 線分 DH の長さを求めよ。 a.h=|0||OB| cas ∠AOB 3x5x(---) ここで また, OA=3,OB=5, ∠AOB=120° であるから --15 完答への AOL 7. 万 を用いて表すことができた。 道のり B内 の値を求めることができた。 であるから OL-OM-a. ON- 15LC-5MC-9NC=0 より 15 (OC-OL)-5 (OC-OM)-9 (OC-ON) = 0 OC = 15 OL-5 OM-90N = 5a +36 また、点Dは直線 OC 上にあるから a A # k=1/1² したがって = Oc=+5)-5-43₁X389 V OD=7+7 O L OL=+5 a. 6 = - 15 2 b OD=kOC=k (5a +36) = 5ka +3kb となる実数んが存在する。 さらに、点Dは直線AB上の点でもあるから 5k+3k=1 B ベクトルの内積 a = 0, 6 ≠ 0 のときと 180°とす のなす角を0(0° ると 0.6=|0||0|cose 始点をそろえる方法 ベクトルの減法 AB=OB-OA (-) 例だい②参照(税点のベクトルを求める方法) ▼点 D が直線OC 上にある ⇔OD=kOC となる実数が存 を利用して,すべてのベクトルの始 点を0にそろえて計算する。 在する ▼点Pが直線AB上にある ⇔OP = sOA+tOB (s+t=1) ⇔OP=(1-t OA+tOB (←は実数) ▼点Dは辺AB を 3:5 に内分する 3- 点であることがわかる。

18.2 2乗した結果プラスだから成り立つという方法で |a|-|b|≦|a+b|を証明することはできないのですか？？2枚目の文末のところで詰まってしまいました...

161.638 重要 例題18 ベクトルの不等式の証明 (1) 次の不等式を証明せよ。 (1) - Ta|||≤a·b≤|||b1 (2) á-16|≤|a+b|slál +16 指針 (1) 内積の定義 α･6=|a|||cose (0は、ものなす角)において、-1≦cos0≦1で あることを利用。 ベクトルの大きさについて | ≧0であることに注意する。 (2) まず,la+6sla|+|6|を示す。 左辺,右辺とも0以上であるから, A≧0, B≧0のとき ASB⇔A'S B 解答 (1) [1] = 0 または 1 = 0 のとき 10 ||||=0 であるから であることを利用し, a+ (+16|) を示す。 (右辺) (左辺)≧0 を示す過程で は, (1) の結果も利用する。 SIGNS 次に,|a|-||≦a +6 の証明については、先に示した不等式 | + 64 +6 | を利 用する。 |-|||8|=1.6=||||= 0 400051-381-1015) [2] a≠0 かつ 0のとき a 1のなす角を0とすると to Talar) o-15-4 er a-b=la|lb|cos 0 0°≦0≦180°より,-1≦cos0 ≦1であるから -|a|||sa||b|cos 0≤|a||| ①から -|à||b|≤a·b≤|a||0| [1], [2] 5-lä||b|≤ä·b≤ä||b| (2) (a+b)²-ã+61² COS =|+2|a||| +-(+20+16) =2 (6) 20 ゆえに là tôi s lả tả lài trời 20, là tôi 2005 kot ゆえに ②③ から la+b|slál + |b1...... @ ②において,aをa+6,方を一方におき換えると |ã+b-|≤|ã+b| +1-61 lä|≤|ã+b|+|b| la|-|6|≤|a+b1 0000 la|-|b|≤|a+b|≤|ä1+1b1 p.399 基本事項 ① (1) d=0のとき, 明ら かに成り立つ。 ¥0 のとき a +6 ≧0 すなわち t²la²+2ta 6+16²20 はすべての実数tについて成 り立つから, (A の左辺) = 0 の判別式をDとすると, la >0 より D≦0 2=(a-6²-16から 4 -|a||b|≤a·b≤|a||b|| Spider 0 (検討) la +6 | <|a|+|6|は三角形 における性質 「2辺の長さの 和は、他の1辺の長さより大 きい」 (数学A) をベクトル で表現したものである。 B 1612 a+b A b a |a+b|<|a|+|b1 OB<OA+AB 409 1章 3 ベクトルの内積

12.1 ①より1-p>0というのは、 ①の右辺は√1+p^2>0で正の数の掛け算だから、 左辺の1-pも1-p>0である、ということですか？？

1,-3) 本事項 ④ ●とすると を解く問 1x 基本例題12 ベクトルのなす角 を正の数とし, ベクトルa=(1,1) と=(1, -p) があるとする。いま、 ことのなす角が60°のとき, かの値を求めよ。 [立教大 ] (②2) α=(-1,3), 6=(m,n)(mとn は正の数), |=√5のとき、ことのな す角は45° である。このとき, m, nの値を求めよ。 指針 内積 α･b について を用いて a-b=alb|cos0, a·b=a₁b₁+a₂b₂ の2通りで表し,これらを等しいとおいた方程式を利用する。 図 (1) では, (2) では m,nの値がいずれも正の数であることに注意。 解答 (1) a·b =1·1+1 (-p)=1-p |ål=√1²+1² = √√2, 161=√1² + (− p)² =√1+p²157 成分による表現。 4.6=|4||5|cos 60°から 1-p=√√2 √1+p² x 1/2 ① ① の両辺を2乗して整理すると p²-4p+1=0 =(1+x) X p=2±√3 (ata ここで,①より 1-p>0であるから 0<p<1 ゆえに (2) 161=5から p.400 基本事項 ④ p=2-√3+20+1 12 8+1×1 (-2)=67 √1+²>0であるから, ①の右辺は正。 よって, ① の左辺は 1-p>0 が出てきたとき 403 1章 3 ベクトルの内積

数字です。 答えを読んでも何をしているのかさっぱりわからないです。教えてください。

✓ 77 次の2直線のなす鋭角αを求めよ。 (1) √3x+3y-1=0, -x+√3y-2=0 *(2) 2x+4y+1=0, x-3y+7=0

ベクトルの内積の問題です。 解答の矢印の部分はノートのような書き方では解けませんか？ なぜ解答は足し算をしているのですか?教えてくださいm(_ _)m

の値を定めよ。 à=(4,2), 方=(3,-1), x=(p, g) とする。 とーは平行で,オー」と x a は垂直であるとき、 pg の値を求めよ。

ペンで書いている答えが合ってるか確認して欲しいです！よろしくお願いします。

F5 20 次の2つのベクトルの内積 (1) a=(2, -3), 7=(3, 1) 3 3 (3) ā=(2, −1), ♂=(1, 2) O を求めよ。 (2) a=(0, 0), 7=(2, 3) O (4) a=(√3, -2), B=(√3, 4) -5 p.129 8 9 1節ベクトルとその演算 17

ベクトルの内積の問題です 下の模範解答を見るとベクトルを絶対値の２乗をしていたのですが、aベクトルbベクトルの大きさはもうでているのでそのままaベクトルとbベクトルに代入するのは駄目ですか？ 本当にわかりません。ベクトルがとても苦手でベクトルについて今1時間くらい考えていま... 続きを読む

□ 32 *(1) |-4, 6-5 で, とものなす角が60° であるとき, ベクトル 24-36 の大きさを求めよ。

この問題の(3)でACとAEの長さが2√3になる理由がわからなくてモヤモヤしてます。わかる方教えていただきたいです！

(教材 3 右の図の正六角形ABCDEF において, AB=2 とする。 次の内積を求めよ。 (1) AB AF (3) AC AE (2) ADCE (4) ACCE 解答 正六角形ABCDEF の中心を0とする。 (1) ∠BAF=120°であるから AB・AF =|AB||AF | cos 120° =2×2×(-1)=-2 (2) 正六角形であるから AD ⊥ CE AD CE=0 よって (3) 1辺の長さが2の正六角形であるから AC=AE=2√3 ∠CAE = 60° AC・AE=|AC||AE|cos 60° また よって =2√3×2√3×1/21=6 圀 指針 図形と内積 正六角形であるから,中心と各頂点を結んでできる6個の三角 形は,すべて1辺の長さが2の正三角形である。 (4) 1辺の長さが2の正六角形であるから AC=CE=2√3 また, AC と CE のなす角は120°であるから ACCE=|AC||CÉ| cos 120° B =2√3×2√3×(-1/12) = 6 C 教p.33 B. A D F D E E

赤線で囲った隠れた条件の部分 なんで０以上１８０以下になるのですか？

12 内積の計算 (成分) 基本例 次のベクトルa, の内積と, そのなす角0を求めよ。 (1) = (−1, 1), 6 =(√3-1,√3+1) (1) と また 内積の成分による表現 a = (a1,a2), 万 = (b1,62) のとき, a, ものなす角を0とする a.b a·b=a₁b₁+a₂b2 |al|b| 成分が与えられたベクトルの内積はAを利用して計算。 また、ベクトルのなす角は⑥を利用して、三角方程式 cos0=α(-1≦a≦l) を解く 問題に帰着させる。かくれた条件0°≧0≦180°に注意。 よって cos = また d = (-1)x(√3-1)+1×(√3+1)=2 |ã|=√ (−1)²+1² = √2, |b|=√(√3 −1)²+(√3+1)² = √8=2√2 lal 0°180°であるから (2) a.b cos0= 2 2×2√2 a.l=1×1+2×(-3)=-5 |à|=√1²+2² = √5, |B| = √ 1²+(−3)² =√10 à• b よって Tä||b| läb 20°180°であるから 0=135° 0=60° q=0Ã 700 (2) a=(1, 2), b=(1, -3) COS A= 1 2 00000 -5 1 √5√10 √2 /p.379 基本事項 4 (1) B (x成分の積) + (y成分の積) -1 P YA 1 52 0 45° SIE P +60% 7 12 135° 0 38 1x 1x 余弦定理を利用してベクトルのなす角を求める 上の例題 (1) において, a b のなす角 9 は, 次のように余弦定理を利用して求めること 討 きる。