座標を使った垂心の証明について。(一般性を失わない) グレー背景の文が問題、白背景の部分が解説です。 解説の8行目でa,b,cが正であるということが書かれていますが、bかCどちらかだけがゼロなら成り立つような時、最大角が∠Bか∠Cとなりますが、このことが成り立つのが｢一般... 続きを読む

練習 △ABCの3つの頂点から、それぞれの対辺またはその紙長に下ろした垂線は1点で交わること $85 ∠Aを最大の角としても一般性を失わない。 このとき ∠B<90° ∠C<90° である。 △ABCの3つの頂点からそれぞれ対辺またはその延長に 下ろした垂線をAL, BM, CN とする。 次に,直線BC をx軸に垂線 AL をy軸にとると L は原点になる。 また, △ABC の頂点の座標を、 それぞれ B A(0, a), B(-b, 0), C(c, 0) のようにとる。 このとき, a>0,60, c>0である。 L 直線ABの傾きは1/5であるから,垂線CN の方程式は b b bc (x-c) すなわちy= ·x + a a また、直線ACの傾きは一 であるから, 垂線BM の方程式はい。 C be a a y=(x+b) すなわちy=- -x+ to a よって, 2直線 CN, BM は, ともに点H(0, bac)を通り、H はy軸上、 すなわち直線AL 上にある。 したがって、3つの垂線は1点で交わる。 YA H OL AM >0とするために、 B (-b,0)とした。 *t, a>0, b>0, c> であるから,x軸に垂直 な直線は考えなくてもよ

全体的には三角形の垂心Hをベクトルを用いて証明する過程を詳細に教えてもらいたいです。(①) ネットで色々調べましたが、どれも写真1にある位置ベクトル性質を利用していました。そもそも、その証明もわかりません。(②)また、これに関連した式が写真3枚目にあります。そちらもどう導く... 続きを読む

原点を0とし, △ABCの頂点 の位置ベクトルを各々A (d) B (6) C() とするとき OX =Đã + gỗ trẻ p+q+r B, P R (p, q, r>0) 9 A X "P q

至急！数学Aの問題です 直線と平面の単元なんですけど、解説の青のマーカーで引いたところの2行目になる理由がわかりません… どなたか教えてください!

とき,l ともねじれの位置にある。 399 ABCの垂心Hを通り, 平面ABCに垂直な直線を引き, そ② の直線上にHと異なる点Pをとる。このとき,PA⊥BC である ことを証明せよ。

青チャート⑴解説下から4,5行目 ①から「AHベクトル=～,BHベクトル＝～」といえるのが何故なのか分かりません。もし①の条件がなくOがBC,CA上にあったらどうなるのですか？ また先程の「AHベクトル=～,BHベクトル＝～」がいえると「AHベクトル≠0ベクトル」「BH... 続きを読む

00000 基本例題 30 線分の垂直に関する証明 △ABCの重心をG, 外接円の中心を0とするとき,次のことを示せ。 (1) OA+OB+OCOH である点Hをとると, Hは△ABCの垂心である。 (2)(1) の点Hに対して,3点O,G,Hは一直線上にあり GH=20G Sint flyta [類 山梨大 ] 基本23 基本68 SHU 指針▷(1) 三角形の垂心とは, 三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交点で OK-ある。 BHOJE AH 0, BC ¥0, BH ¥0, CA ¥0 のとき OA上への ...... (A) AH⊥BC, BH⊥CA⇔AH･BC=0, BH・CA = 0 内積を利用して, ⑩ ((内積)=0] を計算により示す。 とは△ABCの外心であるから 10A-10 |OA|=|OB|=|OČ| も利用。 MAA CHART 線分の垂直 (内積) = 0 を利用 MOTSTAND この長さと同分 であるとい 解答 直角三角形のときは ∠C=90° とする。 (1) ∠A=90°, ∠B=90° としてよい。 このとき,外心O は辺BC, CA 上 にはない。 このとき, 外心は辺AB上 ① にある (辺ABの中点)。 OH=OA+OR+OCから 10+800) AH-OH-OA=OB+OC B A ゆえに AH･BC A (50 =(OB+OC) (OC-OB) = |COC-OB (分割) = 40A = |OC|²—|OB|²=0 0-51ABCの外心 0 → 同様にして メ5-0 BH・CA=(OA+OČ)・(OA-OC) = OẢI—|OCI=0 - -1-5-JA また①から AH=OB+OČ=0, BH=OA+OC≠0 ¥0, ときによって、AH, BC BH CAであるから AH⊥BC, BH⊥CA すなわち AH⊥BC, BH⊥CA 点Hは△ABC の垂心である。 したがって, Jos ならば OA+OB+OC=/OH から OH=30G -+* (2) OG= 3 ゆえに GH = OH-OG=2OG よって, 3点 0, G, H は一直線上にあり 10 GH=20G 428 OH-OA = OB + OC are 5+₂09 初めて、 a·b=0" いえる!!! CLO A OA=OBOC (数学A) 検討 外心,重心,垂心を通る直線 (この例題の直線 OGH) を オイラー線という。 ただし、正三角形は除く。 POSTO (1) から OA + OB+OC=OH BASA+SA

解説お願いしたいです、！！

399 △ABCの垂心 H を通り, 平面ABCに垂直な直線を引き、その直線上に H と異なる点Pを とる。このとき, PA⊥BC であることを証明せよ。 4:08 S 19AYHA CROS

この問題の1番の内心場合の角度が115ななる理由を教えてください 明日テストなので至急お願いします！

(3) 3 2 以下の問題は答えのみでよい。 ⑥点×3. 下の図において。点PがAABCの内心,外心,垂心であるとき、角度はどのように変わ るか､それぞれ求めよ。 点Pが内心のとき 115: 50% 点Pが外心のとき 100° 点Pが垂心のとき =130° B th ③③3 AABCの内部の点Pと3頂点A,B,Cとを結ぶ直線が対辺 BC, CA, AB と交わる点を それぞれD,E,Fとする。 BD:DC=2:3,FP PC=1:2であるとき を求めよ。 CE EA ELMA △ABDでメネラウスの定理より. + この正 Jean (1)3 ちゃ 5 3か

正直、全然わからないです！どうか詳しく教えてください！

T 基 本 例題 75 座標を利用した証明 (2),垂心 基本 73 座標平面上の3点O(0, 0), A(2,5),B(6, 0) を頂点とする △OAB の各頂 点から対辺に下ろした3つの垂線は1点で交わることを証明せよ。 CH CHARTO SOLUTION 3直線が1点で交わることを証明するには, 2直線の交点が第3の直線上にある ことを示すのが一般的 (p.121 基本例題 76(2)) であるが,本問では, △OAB の頂 点Aから対辺に下ろした垂線が直線x=2となるから, 頂点 0, B から対辺に下 ろした垂線と直線x=2 の交点をそれぞれ求め、それらが一致することを示せば よい｡ ......!! 解答 0-5 5 直線AB の傾きは yA 6-2 4 5 よって、頂点Oから対辺ABに下ろ した垂線 OC の方程式は y= (1) ◆垂直⇔傾きの積が1 Q HE B 直線OCの傾きをと 5 とす 0 2 6 x また、直線OA の傾きは A HLA)SAT 2 すると2-1-) よって, 頂点Bから対辺 OAに下ろした垂線 BD の方程式は 4 よって m= 12 5 y0=-- (x-6) すなわちy=-2. :+ 2 5 5 頂点Aから対辺 OBに下ろした垂線 AE の方程式は (2) x = 2 ...... ③ ①① に x=2を代入すると 8 •2= 5 ①と③の交点のy座標 ②にx=2を代入すると -12/2-2 + 1/²2 - 03/0 8 y=- 5 5 5 ②と③の交点のy座標 ゆえに,3直線①,②,③は1点 (2, 2 ) で交わる。 したがって, △OAB の各頂点から対辺に下ろした3つの垂線 は1点で交わる。 inf. 一般に,三角形の 15 つの頂点から,それぞれ 対辺に下ろした垂線は1点 で交わる。この交点を,そ の三角形の垂心という。 3x+y+3=0 PRACTICE･・・･ 75 ② xy平面上に3点A(2,-2), B(57),C(6, 0) がある。△ABC 線は1点で交わることを証明 120 D C

教えてください🙇‍♀️

△ABCにおいて,∠Aの二等分線とこの三角形の外接円との交点でAと異なる点を A' とする。 同様に∠B, ∠Cの二等分線とこの外接円との交点をそれぞれB', C とする。 このとき,次のことを証明せよ。 (1) 3 直線 AA', BB', CC'′は1点Hで交わる。 (2) 点Hは三角形 A'B'C'′ の垂心と一致する。

ah✖️bcから赤線のようになるのがよくわかりません。

3 ベクトルと図形 オイラー線 例題 357 (1) ** △ABCの外接円の中心を0とし、頂点A, B, Cの点Oを基点とする位 ベクトルを、それぞれ a, 6, ことする. 位置ベクトル h=a+b+c で (2) *** 表される点をH, △ABCの重心をGとするとき, 次の問いに答えよ. (2) 点Hは△ABC の垂心であることを示せ . (1) 3点O, G, H は一直線上にあることを示せ. 考え方 (1) 3点 0, G, Hが一直線上にある OH = OG (kは実数) の形で表せる (2) 点Hは△ABCの垂心 AH⊥BC, BHICA つまり, AH･BC=0, BH・CA=0 また, 点は外接円の中心だから,|a|=||=|c| (1) OH=a+b+c, OĞ= 3(a+b+c) £9, OH = OG の形て 表せた。 よって, 3点O, G, Hは一直線上にある. OG: GH = 1:2 (別解) GH = OH-OG OH-OA+OB+ =(OA+OB+OC)-OG =3OG-OG=20G よって, 3点 0, G, H は一直線上にある。 |OG=1/(a+b+ (2) 点Oは△ABCの外心だから, la|=||=|0| A AH+0, E しても一般性 AH･BC=(OB+OC)・(OC-OB) =(c+b)(c-b) =101-16-0 よって, AH BC=0 B BH･CA = (OA+OC :OẢ-0Ỏ) = (a + c) (a-c) C =la²-c²=0 よって, BH･CA = 0 以上より, AH⊥BC, BHICA だから, 点Hは △ABC の垂心である. HO G O

この問題、ベクトルでとくことは可能でしょうか？ 可能であれば、解き方教えてください🙏

正四面体 AABC を含む平面をαとし, △ABCの垂心を H コ土チ P 練習 A a 98 とする。垂心Hを通り,平面αに垂直な直線上に点 Pをとるとき、 PALBCであることを証明せよ。 上日A B H 正ニ十面体 (p.466 EX68,69